CHƯƠNG V. BÀI 16. CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG V. BÀI 16. CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
Ảnh
- Khởi động:
Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ (H.5.33). Các cây cột vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 7 m, 6 m, 5 m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 4 m. Hỏi mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc bao nhiêu độ?
1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
Ảnh
1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
- HĐ1
Ảnh
Hình vẽ
HĐ1: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ và ∆' tương ứng có các vectơ chỉ phương latex(vecu = (a;b;c), vecu)' = (a'; b'; c') (H.5.34). a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc (∆, ∆') và (latex(vecu, vecu)'). b) Nhận xét gì về mối quan hệ giữa cos(∆, ∆') và |cos(latex(vecu, vecu)')|?
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
- Ví dụ 1
Ảnh
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:
- Giải:
Hai đường thẳng latex(Delta) và latex(Delta)' tương ứng có các vectơ chỉ phương latex(vecu = (1; 1; 0), vecu)' = (2; 2; 1). Khi đó: cos(latex(Delta, Delta)') = |cos(latex(vecu, vecu)')| = latex((|1 . 2 + 1 . 2 + 0 . 1|)/(sqrt(1^2 + 1^2 + 0^2) . sqrt(2^2 + 2^2 + 1^2)) = (2sqrt2)/3). Vậy (latex(Delta, Delta)' ) latex(~~ 19,5@).
- Luyện tâp 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và đường thẳng latex(Delta: (x - 3)/1 = (y + 1)/2 = (z - 1)/(-2)).
2. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Ảnh
2. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- HĐ2
Hình vẽ
Ảnh
HĐ2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ và MP (P). Xét latex(vecu = (a; b; c)) là một vectơ chỉ phương của ∆ và latex(vecn = (A; B; C)) (với giá ∆') là một vectơ pháp tuyến của (P). (H.5.35). a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc (∆, (P)) và (∆, ∆'). b) Nhận xét gì về mối quan hệ giữa sin(∆, ∆') và latex(|cos(vecu, vecn)|)?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng latex(Delta) có vectơ chỉ phương latex(vecu = (a; b; c)) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến latex(vecn = (A; B; C)). Khi đó: latex(sin(Delta, (P)) = |cos(vecu, vecn)| = (|aA + bB + cC|)/(sqrt(a^2 + b^2 + c^2) . sqrt(A^2 - B^2 - C^2))).
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi trục Ox và mặt phẳng (P): latex(sqrt2x - y + z + 2 = 0)
- Giải:
Ảnh
Hình vẽ
Trục Ox có vectơ chỉ phương latex(veci = (1; 0; 0)), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến latex(vecn = (sqrt2; -1; 1)). Ta có: latex(sin(Ox, (P)) = (|1.sqrt2 + 0. (-1) + 0 . 1|)/(sqrt(1^2 + 0^2 + 0^2) . sqrt((sqrt2)^2 + (-1)^2 + 1^2)) = sqrt2/2). Vậy Ox tạo bởi (P) góc latex(45@).
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 7:
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P), với: latex(Delta: (x +2)/(-1) = (y -4)/2 = (z + 1)/1, (P): x - y + z - 1 = 0)
3. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
Ảnh
3. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
- HĐ3
Ảnh
Ảnh
HĐ3: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là latex(vecn = (A; B; C), vecn)' = (A'; B'; C'). Lấy các đường thẳng ∆, ∆' tương ứng có vectơ chỉ phương latex(vecn, vecn)' (H.5.36). a) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) và góc giữa hai đường thẳng ∆ và ∆' có mối liên hệ gì? b) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng: (P): x + 2y + 2z - 1 = 0 và (Q): x + y - z + 1 = 0.
- Giải:
Ảnh
Hình vẽ
Các mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là latex(vecn = (1; 2; 2), vecn)' = (1; 1; -1). Ta có: latex(cos((P), (Q)) = (|1.1 + 2.1 + 2. (-1)|)/(sqrt(1^2 + 2^2 + 2^2) . sqrt(1^2 + 1^2 + (-1)^2)) = sqrt3/9). Do đó latex((P), (Q)~~78,9@).
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng: (P): latex(x - sqrt2y + z - 2) và (Oxz): y = 0.
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho A(0; 0; 4), B(0; -3; 0), C(-; 3; 0), D(3; 0; 0). Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (ACD).
- Giải:
- Vân dụng
Ảnh
Hình vẽ
- Vận dụng:
Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu.
4. Bài tập
Bài tập
Ảnh
4. Bài tập
Bài 1
Ảnh
Bài 1: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P): x + 2y – z – 1 = 0.
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Ảnh
Bài 3
Ảnh
Bài 3: (H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40 cm, 44 cm, 48 cm. a) Khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên). b) Đáy bể nghiêng so với MP nằm ngang một góc bao nhiêu độ?
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
DẶN DÒ:
Tổng hợp lại kiến thức vừa học. Hoàn thành bài tập trong SBT, SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương V. Bài 17. Phương trình mặt cầu".
Cảm ơn
Ảnh