BÀI 2: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
BÀI 2: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Mục tiêu
Mục tiêu
Ảnh
Mục tiêu bài học
Mô tả các phép biến đổi lượng giác cơ bản: công thức cộng; công thức góc nhân đôi; công thức biến đổi thành tổng và và công thức biến đổi tổng thành tích. Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc lượng giác và các phép biến đổi lượng giác.
Hình thàn kiến thức
1. Công thức cộng
Ảnh
1. Công thức cộng
HĐ1: a) Cho latex(a = pi/3) và latex(b = pi/6), chứng tỏ: cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb. b) Bằng cách viết a + b = a - (-b) và từ công thức ở HĐ1a, tính cos(a + b). c) Bằng cách viết sin(a - b) = cos[latex(pi/2 - (a-b) = cos[(pi/2 - a)+ b]) và sử dụng công thức vừa lập ở HĐ1b, tính sin(a - b).
- Kết luận
Ảnh
Ảnh
Kết luận:
1) latex(cos (a - b) = cosacosb + sinasinb) 2) latex(cos (a + b) = cosacosb - sinasinb) 3) latex(sin (a - b) = sinacosb - cosasinb) 4) latex(sin (a + b) = sinacosb + cosasinb)
5) latex(tan (a - b) = (tana - tanb)/(1 + tanatanb)) 6) latex(tan (a + b) = (tana + tanb)/(1 - tanatanb))
Hình vẽ
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Không dùng máy tính, hãy tính: a) latex(cos75@); b) latex(tanpi/12).
Giải:
a) latex(cos75@ = cos(45@ + 30@) = cos45@cos30@ - sin45@sin30@) = latex(sqrt2/2 . sqrt3/2 - sqrt2/2 . 1/2 = (sqrt6 - sqrt2)/4) b) latex(pi/12 = tan(pi/3 - pi/4) = (tanpi/3 - tanpi/4)/(1 + tanpi/3 . tanpi/4) = (sqrt3 - 1)/(1 + sqrt3) = ((sqrt3 - 2)^2)/(3-1) = 2 - sqrt3).
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: CMR: sinx + cosx = latex(sqrt2 sin(x + pi/4)).
Giải:
Ta có: latex(sqrt2 sin(x + pi/4) = sqrt2(sinxcospi/4 + cosxsinpi/4)) = latex(sqrt2(sin. sqrt2/2 + cosx. sqrt2/2)) = latex(sinx + cosx) (đpcm).
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Chứng minh rằng: a) latex(sin x = cos x = sqrt2 sin(x - pi/4)); b) latex((tanpi/4 - x) = (1 - tan x)/(1 + tanx)) với latex((x !=pi/2 + kpi, x!= (3pi)/4 + kpi, k in Z)).
- Vận dụng 1
Ảnh
- Vận dụng 1:
Dựa vào kiến thức vừa học, em hãy giải bài toán ở tình huống mở đầu.
2. Công thức nhân đôi
2. Công thức nhân đôi
Ảnh
HĐ2: Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: sin2a; cos2a; tan2a.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
* sin2a = 2sinacosa * cos2a = latex(cos^2a-sin^2a = 2cos^2a - 1 = 1-2sin^2a) * tan2a = latex((2tana)/(1-tan^2a)).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 2: Cho latex(cosa = -1/3 (pi/2 < a < pi)). Tính sin2a.
Giải:
Vì latex(pi/2 < a 0. Do đó: latex(sin a = sqrt(1 - cos^2a) = sqrt(1-(-1/3)^2) = sqrt(1-1/9) = sqrt(8/9) = (2sqrt2)/3). Vậy sin 2a = 2 sinacosa = latex(2. (2sqrt2/3) . (-1/3) = (-4sqrt2)/9).
- Luyện tập 2
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 2:
Không dùng máy tính, tính latex(cospi/8).
- Bài tập
Ảnh
Bài 1.7. Sử dụng latex(15@ = 45@ - 30@), hãy tính các giá trị lượng giác của góc latex(15@). Bài 1.8. Tính: a) latex(cos(a + pi/6)), biết latex(sin a = 1/sqrt3) và latex(pi/2 < a < pi), b) latex(tan(a - pi/4)), biết latex(cosa = -1/3) và latex(pi < a < (3pi)/2). Bài 1.9. Tính sin2a, cos2a, tan2a, biết: a) latex(sina = 1/3) và latex(pi/2 < a < pi); b) latex(sina + cosa = 1/2) và latex(pi/2 < a < (3pi)/4).
Bài tập:
Ảnh
3. Công thức biến đổi tích thành công
3. Công thức biến đổi tích thành công
Ảnh
HĐ3: a) Từ các công thức cộng cos(a + b) và cos(a - b), tìm: cosacosb; sinasinb. b) Từ các công thức cộng sin(a + b) và sin(a - b), tìm: sinacosb.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
* latex(cosacosb = 1/2[cos(a - b) + cos(a + b)]) * latex(sinasinb = 1/2[cos(a - b) - cos(a + b)]) * latex(sinacosb = 1/2[sin(a - b) + sin(a + b)])
- Ví dụ 4
Giải:
Ảnh
Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức: A = latex(cos(5pi)/12cos(7pi)/12); B = latex(cos75@sin15@).
Giải:
Ta có: A = latex(cos(5pi)/12cos(7pi)/12 = 1/2[cos((5pi)/12 - (7pi)/12) + cos((5pi)/12 + (7pi)/12)]) = latex(1/2[cos(-pi/6) + cospi] = 1/2(sqrt3/2 - 1) = (sqrt3 - 2)/4). B = latex(sin15@ . cos75@ = 1/2[sin(15@ - 75@) + sin(15@ + 75@)]) = latex(1/2[sin(-60@) + sin90@]=1/2(-sqrt3/2 + 1) = (2 - sqrt3)/4)
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức: A = latex(cos75@cos15@); B = latex(sin(5pi)/12cos(7pi)/12).
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
Ảnh
HĐ4: Trong các công thức biến đổi tích thành tổng, đặt u = a - b, v = a + b và viết các công thức nhận được.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
* latex(cosu + cosv = 2cos(u + v)/2 cos(u - v)/2) * latex(cosu - cosv = -2sin(u + v)/2 sin(u - v)/2) * latex(sinu + sinv = 2sin(u + v)/2 cos(u - v)/2) * latex(sinu - sinv = 2cos(u + v)/2 sin(u - v)/2)
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức: A = latex(sin(pi/9 - sin(4pi)/9 + sin(7pi)/9))
Giải:
A = latex((sinpi/9 + sin(7pi)/9) - sin(4pi)/9) = latex(2sin(4pi)/9cospi/3 - sin(4pi)/9) = latex(sin(4pi)/9 - sin(4pi)/9 = 0).
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức: latex(B = cospi/9 + cos(5pi)/9 + cos(11pi)/9).
- Vận dụng 2
Ảnh
- Vận dụng 2:
Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phim. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp latex(f_1) và tần số cao latex(f_2) liên quan đến mỗi phim. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm latex(y = sin(2pif_1t) + sin(2pif_2t)), ở đó t là biến thời gian.
+ Câu hỏi (- Vận dụng 2)
Ảnh
a) Tìm hàm số mô hình hoá âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4. b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.
- Bài tập
Ảnh
Bài tập:
Bài 1.10. Tính giá trị của các biểu thức: a) latex(A = (sinpi/15cospi/10+sinpi/10cospi/15)/(cos(2pi)/15cospi/5-sin(2pi)/15sinpi/5)); b) latex(B = sinpi/32cospi/32cospi/16cospi/8). Bài 1.11. Chứng minh đẳng thức sau: latex(sin(a + b)sin(a - b) = sin^2a - sin^2b) = latex(cos^2b - cos^2a).
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành BT 1.12, 1.13 SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương I. Bài 3. Hàm số lượng giác và đồ thị".
- Cảm ơn
Ảnh