Chào mừng quý vị đến với website của ...
Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tài liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.
Nếu chưa đăng ký, hãy nhấn vào chữ ĐK thành viên ở phía bên trái, hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay phía bên trái.
Chương 2. Bài 3. Cấp số nhân
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn: Bạch Kim
Người gửi: Ngô Văn Chinh (trang riêng)
Ngày gửi: 15h:31' 01-04-2024
Dung lượng: 638.2 KB
Số lượt tải: 0
Nguồn: Bạch Kim
Người gửi: Ngô Văn Chinh (trang riêng)
Ngày gửi: 15h:31' 01-04-2024
Dung lượng: 638.2 KB
Số lượt tải: 0
Số lượt thích:
0 người
CHƯƠNG 2. BÀI 3. CẤP SỐ NHÂN
Trang bìa
Trang bìa
CHƯƠNG 2. BÀI 3. CẤP SỐ NHÂN
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Khởi động
Một quả bóng rơi từ một vị trí có động cao 120 cm. Khi chạm đất, nó luôn nảy lên với độ cao bằng một nửa độ cao của lần rơi trước đó. Gọi LATEX(u_1)= 120 là độ cao của lần rơi đầu tiên và LATEX(u_2); LATEX(u_3); LATEX(u_4); ...; LATEX(u_n); ... là độ cao của các lần rơi kế tiếp. Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy (un) và tìm điểm đặc biệt của dãy số đó.
I - Cấp số nhân
Hoạt động 1
Ảnh
I - Cấp số nhân
1. Hoạt động 1
a) Tính thương của hai số hạng liên tiếp trong dãy số: 2; 4; 8; 16; 32; 64. b) Tìm điểm giống nhau của các dãy số: i) 3; 6; 12; 24; 48. ii) 1; LATEX(1/2); LATEX(1/4); LATEX(1/8); LATEX(1/16) iii) 2; – 6; 18; – 54; 162; – 486.
Ảnh
Giải
a) Ta có: 2 : 4 = LATEX(1/2); 4 : 8 = LATEX(1/2); 8 : 16 = LATEX(1/2); 16 : 32 = LATEX(1/2); 32 : 64 = LATEX(1/2) b) Điểm giống nhau của các dãy số sau: kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi. i) q = 2; ii) q = LATEX(1/2) iii) q = – 3.
Khái niệm
Ảnh
Hình vẽ
2. Khái niệm
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi, nghĩa là: LATEX(u_(n+1)) = LATEX(u_n).q với n∈N. Số q được gọi là "công bội" của cấp số nhân.
Ví dụ 1
3. Ví dụ 1
Tìm số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau: a) 3; 6; 12; 24; 48;... b) 1; LATEX(1/2); LATEX(-1/4); LATEX(1/8); LATEX(-1/16);... c) 9; 9; 9; 9; 9;...
Giải
a) Dãy số: 3; 6; 12; 24; 48; ... là cấp số nhân với LATEX(u_1)= 3 và công bội q = 2 . b) Dãy số: 1; LATEX(1/2); LATEX(-1/4); LATEX(1/8); LATEX(-1/16);... là cấp số nhân với LATEX(u_1)= 1 và công bội q = - LATEX(1/2) c) Dãy số: 9; 9; 9; 9; 9... là cấp số nhân với 1; LATEX(u_1)= 9 và công bội q = 1 .
Ví dụ 2
4. Ví dụ 2
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó. a) 1; 11; 121; 12321; 1234321. b) 1; -1; 1; -1; 1. c) 4; 8; 12; 16.
Giải
a) Dãy số: 1; 11; 121; 12321; 1234321 là cấp số nhân với số hạng đầu LATEX(u_1)= 1 và công bội q = 11 b) Dãy số: 1; -1; 1; -1; 1 là cấp số nhân với số hạng đầu LATEX(u_1)= 1 và công bội q = - 1 . c) Dãy số: 4; 8; 12; 16 có LATEX((u_2)/(u_1)) ≠ LATEX((u_4)/(u_3)) nên không là cấp số nhân.
Ví dụ 3
Ảnh
5. Ví dụ 3
Cho cấp số nhân: 1; 10; 100; 1000; 10000. Biểu diễn số hạng 10 và 100 theo hai số hạng kề nó.
Giải
Ta có: LATEX(10^2)= 1.100; LATEX(100^2)= 10.1000.
Chú ý
Hình vẽ
6. Chú ý
Dãy số LATEX(u_n) là cấp số nhân thì = LATEX(u_n)^2 = LATEX(u_(n-1)).LATEX(u_(n+1)), với n ≥ 2.
Ảnh
Thực hành 1
7. Thực hành 1
Cho ba số tự nhiên m, n, p theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh ba số LATEX(2^m), LATEX(2^n), LATEX(2^p) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Giải
Vì m, n, p theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên: n = m = p – n = d. Ta có: LATEX(2^n): LATEX(2^m)= LATEX(2^(n – m)) = LATEX(2^d) LATEX(2^p): LATEX(2^n)= LATEX(2^(p – n))= LATEX(2^d) Do đó LATEX(2^n): LATEX(2^m)= LATEX(2^p): LATEX(2^n) nên đây là một cấp số nhân với công bội q = LATEX(2^d).
Vận dụng 1
8. Vận dụng 1
Một quốc gia có dân số năm 2011 là P triệu người. Trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm dân số tăng a%. Chứng minh rằng dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạp thành cấp số nhân. Tìm công bội của cấp số nhân này.
Giải
Dân số năm 2011 là: LATEX(T_1)= P (triệu người). Năm 2012 là: LATEX(T_2)= P + a%P = (1 + a%).P (triệu người). Năm 2013 là: LATEX(T_3)= (1 + a%).P + a%(1 + a%).P = LATEX((1 + a%)^2).P (triệu người). ... Năm 2021 là: LATEX(T_10)= LATEX((1 + a%)^10).P (triệu người). Do đó dãy số dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạp thành cấp số nhân với công bội q = 1 + a%.
Vận dụng 2
9. Vận dụng 2
Tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ tạo thành cấp số nhân. Biết tần số của hai phím Sol và Si lần lượt là 415 Hz và 466 Hz. Tính tần số của phím La (làm tròn đến hàng đơn vị).
Ảnh
Vì tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si tạo thành một cấp số nhân nên ta có tần số của phím La bằng: LATEX(sqrt415.466)≈ 440
Giải
II - Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Hoạt động 2
Ảnh
Ảnh
II - Số hạng tổng quát của cấp số nhân
1. Hoạt động 2
Cho cấp số nhân (LATEX(u_n)) có công bội q. Tỉnh LATEX(u_2), LATEX(u_3), LATEX(u_4) và LATEX(u_10) theo LATEX(u_1) và q
Giải
Ta có: LATEX(u_2)= LATEX(u_1).q; LATEX(u_3)= LATEX(u_2).q = LATEX(u_1).q.q = LATEX(u_1).LATEX(q^2) LATEX(u_4)= LATEX(u_3).q = LATEX(u_1).q2.q = LATEX(u_1).LATEX(q^3) LATEX(u_10)= LATEX(u_9).q = LATEX(u_8).q.q = ... = LATEX(u_1).LATEX(q^9).
Định lý 1
Ảnh
Hình vẽ
2. Định lý 1
Nếu một cấp số nhân (u) có số hạng đầu u, và công bội q thì số hạng tổng quát u, của nó được xác định bởi công thức: LATEX(u_n)= LATEX(u_1).LATEX(q^(n-1)), n≥2.
Ví dụ 4
Ảnh
3. Ví dụ 4
Cho cấp số nhân có 8 số hạng, số hạng đầu là 4374, số hạng cuối là 2. Tìm công bội của cấp số nhân đó
Giải
Ta có LATEX(u_1)= 4374 và LATEX(u_8)= 2. Gọi q là công bội của cấp số nhân này, ta có: LATEX(u_8)= LATEX(u_1)= LATEX(q^7), suy ra: LATEX(q^7)= LATEX((u_8)/(u_1))= LATEX(2/4374)= LATEX(1/2187)= LATEX((1/3)^7), do đó q = LATEX(1/3)
Thực hành 2
4. Thực hành 2
Viết công thức số hạng tổng quát u theo số hạng đầu u, và công bội q của các cấp số nhân sau: a) 5; 10; 20; 40; 80;... b) 1; LATEX(1/10); LATEX(1/100); LATEX(1/1000); LATEX(1/10000);...
a) Cấp số nhân 5; 10; 20; 40; 80; ... có số hạng đầu LATEX(u_1)= 5 và công bội q = 2. Khi đó công thức số hạng tổng quát: LATEX(u_n)= LATEX(u_1).LATEX(q^(n-1))= 5.LATEX(2^(n-1)) b) Cấp số nhân: 1; LATEX(1/10); LATEX(1/100); LATEX(1/1000); LATEX(1/10000);... có số hạng đầu LATEX(u_1)= 1 và công bội q = LATEX(1/10). Khi đó công thức số hạng tổng quát: LATEX(u_n)= 1. LATEX((1/10)^(n-1))= LATEX((1/10)^(n-1))
Giải
Vận dụng 3
5. Vận dụng 3
Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày, nghĩa là sau 138 ngày, khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa. Tính khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 690 ngày.
Giải
Khối lượng nguyên tố poloni 210 lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu LATEX(u_1)= 20 gam và công bội q = LATEX(1/2) có số hạng tổng quát là: LATEX(u_n)= 20LATEX((1/2)^(n-1)) Ta có: 690 = 138.5 nên n = 5, khi đó: LATEX(u_5)= 20LATEX((1/2)^(5-1))= 20LATEX((1/2)^4)= LATEX(5/4)= 1,25 Vậy sau 690 ngày khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 là: 1,25 gam.
III - Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Hoạt động 3
Ảnh
III - Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp só nhân
1. Hoạt động 3
Cho cấp số nhân (LATEX(u_n)) có công bội q. Đặt LATEX(S_n)= LATEX(u_1)+ LATEX(u_2)+ ... + LATEX(u_n). So sánh q.LATEX(S_n) và LATEX(u_1)+ LATEX(u_2)+ ... + LATEX(u_n)+ q.LATEX(u_n)
Giải
Ta có: LATEX(S_n)q = (LATEX(u_1)+ LATEX(u_2)+ ... + LATEX(u_n)).q = LATEX(u_1)q+ LATEX(u_2)q+ ... + LATEX(u_(n-1))q+ LATEX(u_n)).q = LATEX(u_2)+ LATEX(u_3)+ LATEX(u_4)+... + LATEX(u_n)+ LATEX(u_n).q = (LATEX(u_2)+ LATEX(u_3)+ LATEX(u_4)+... + LATEX(u_n)) + q.LATEX(u_n) Vậy q.LATEX(S_n)= (LATEX(u_2)+ LATEX(u_3)+ LATEX(u_4)+... + LATEX(u_n)) + q.LATEX(u_n)
Định lý 2
Hình vẽ
2. Định lý 2
Giả sử (u) là một cấp số nhân có công bội q ≠ 1. Đặt LATEX(S_n)= LATEX(u_1)+ LATEX(u_2)+...+LATEX(u_n), khi đó: LATEX(S_n)= LATEX((u_1(1-q^n))/(1-q))
Ảnh
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
3. Chú ý
Khi q = 1 thì LATEX(S_n)= n. LATEX(u_1)
Ví dụ 5
Ảnh
4. Ví dụ 5
Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (LATEX(u_n)) có số hạng đầu LATEX(u_1)= 1 và công bội q = 2
Giải
Áp dụng công thức LATEX(S_n)= LATEX((u_1(1-q^n))/(1-q)), ta có: LATEX(S_10)= LATEX((1(1-2^10))/(1-2))= LATEX(2^10)- 1= 1023
Thực hành 3
5. Thực hành 3
Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (LATEX(u_n)) trong trường hợp sau: LATEX(u_1)= LATEX(10^5); q = 0,1; n = 5;
Giải
(LATEX(u_n)) là cấp số nhân có số hạng đầu LATEX(u_1)= LATEX(10^5) và công bội q = 0,1 nên có số hạng tổng quát là: LATEX(u_n)= LATEX(u_1).LATEX(q^(n-1))= LATEX(10^5).LATEX((0,1)^(n – 1)) . Khi đó ta có: LATEX(u_5)= LATEX(10^5).LATEX((0,1)^(5-1))= LATEX(10^5).LATEX((0,1)^4)= 10. Tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (LATEX(u_n)) là: LATEX(S_n)= LATEX((5(10^5+10))/2)
Vận dụng 4
6. Vận dụng 4
Trong bài toán khởi động ở đầu bài học, tính tổng các độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên
Giải
Dãy số đã cho là một cấp số nhân với số hạng đầu LATEX(u_1)= 120 và công sai q = LATEX(1/2) Khi đó công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân này là: LATEX(u_n)= 120.(LATEX(1/2))^(n-1) Độ cao của quả bóng sau lần rơi thứ 10 là: LATEX(u_10)= 120.(LATEX(1/2))^(10-1)= LATEX(15/64) Tổng độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên là: LATEX(S_10)≈LATEX((10(120+15/64))/2)
IV - Bài tập
Bài 1,2,3
IV - Bài tập
1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? a) LATEX(u_n)= 3.LATEX((-2)^n) b) LATEX(u_n)= LATEX((-1)^(n+1)).LATEX(7^n) 2. a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất. b) Viết sáu số xen giữa các số – 2 và 256 để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp số hạng thứ 15 là bao nhiêu? 3. Ba số LATEX(2/(b-a)), LATEX(1/b), LATEX(2/(b-c)) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân
Bài 4,5
Ảnh
4. Tính các tổng sau: a) LATEX(S_n)= 1 + LATEX(1/3)+ LATEX(1/(3^2))+ ...+ LATEX(1/(3^n)) b) LATEX(S_n)= 9 + 99 + 999 +...+ 99...9
n chữ số 9
5. Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm, cứ mỗi phút số lượng lại tăng lên gấp đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút.
Ảnh
Bài 6, 7
Ảnh
6. Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng 2,1 triệu người và tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75%. a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032. b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022?
7. Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy, người chơi sẽ được dây an toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược lên 60% chiều sâu của cú nhảy. Một người chơi bungee thực hiện cú nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên là 9m. a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba. b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu.
V - Dặn dò
Dặn dò
V - Dặn dò
Ảnh
- Làm hét bài tập trong sách giáo khoa - Làm bài tập trong phần Bài tập cuối chương II
Ảnh
Kết thúc
Ảnh
Trang bìa
Trang bìa
CHƯƠNG 2. BÀI 3. CẤP SỐ NHÂN
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Khởi động
Một quả bóng rơi từ một vị trí có động cao 120 cm. Khi chạm đất, nó luôn nảy lên với độ cao bằng một nửa độ cao của lần rơi trước đó. Gọi LATEX(u_1)= 120 là độ cao của lần rơi đầu tiên và LATEX(u_2); LATEX(u_3); LATEX(u_4); ...; LATEX(u_n); ... là độ cao của các lần rơi kế tiếp. Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy (un) và tìm điểm đặc biệt của dãy số đó.
I - Cấp số nhân
Hoạt động 1
Ảnh
I - Cấp số nhân
1. Hoạt động 1
a) Tính thương của hai số hạng liên tiếp trong dãy số: 2; 4; 8; 16; 32; 64. b) Tìm điểm giống nhau của các dãy số: i) 3; 6; 12; 24; 48. ii) 1; LATEX(1/2); LATEX(1/4); LATEX(1/8); LATEX(1/16) iii) 2; – 6; 18; – 54; 162; – 486.
Ảnh
Giải
a) Ta có: 2 : 4 = LATEX(1/2); 4 : 8 = LATEX(1/2); 8 : 16 = LATEX(1/2); 16 : 32 = LATEX(1/2); 32 : 64 = LATEX(1/2) b) Điểm giống nhau của các dãy số sau: kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi. i) q = 2; ii) q = LATEX(1/2) iii) q = – 3.
Khái niệm
Ảnh
Hình vẽ
2. Khái niệm
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi, nghĩa là: LATEX(u_(n+1)) = LATEX(u_n).q với n∈N. Số q được gọi là "công bội" của cấp số nhân.
Ví dụ 1
3. Ví dụ 1
Tìm số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau: a) 3; 6; 12; 24; 48;... b) 1; LATEX(1/2); LATEX(-1/4); LATEX(1/8); LATEX(-1/16);... c) 9; 9; 9; 9; 9;...
Giải
a) Dãy số: 3; 6; 12; 24; 48; ... là cấp số nhân với LATEX(u_1)= 3 và công bội q = 2 . b) Dãy số: 1; LATEX(1/2); LATEX(-1/4); LATEX(1/8); LATEX(-1/16);... là cấp số nhân với LATEX(u_1)= 1 và công bội q = - LATEX(1/2) c) Dãy số: 9; 9; 9; 9; 9... là cấp số nhân với 1; LATEX(u_1)= 9 và công bội q = 1 .
Ví dụ 2
4. Ví dụ 2
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó. a) 1; 11; 121; 12321; 1234321. b) 1; -1; 1; -1; 1. c) 4; 8; 12; 16.
Giải
a) Dãy số: 1; 11; 121; 12321; 1234321 là cấp số nhân với số hạng đầu LATEX(u_1)= 1 và công bội q = 11 b) Dãy số: 1; -1; 1; -1; 1 là cấp số nhân với số hạng đầu LATEX(u_1)= 1 và công bội q = - 1 . c) Dãy số: 4; 8; 12; 16 có LATEX((u_2)/(u_1)) ≠ LATEX((u_4)/(u_3)) nên không là cấp số nhân.
Ví dụ 3
Ảnh
5. Ví dụ 3
Cho cấp số nhân: 1; 10; 100; 1000; 10000. Biểu diễn số hạng 10 và 100 theo hai số hạng kề nó.
Giải
Ta có: LATEX(10^2)= 1.100; LATEX(100^2)= 10.1000.
Chú ý
Hình vẽ
6. Chú ý
Dãy số LATEX(u_n) là cấp số nhân thì = LATEX(u_n)^2 = LATEX(u_(n-1)).LATEX(u_(n+1)), với n ≥ 2.
Ảnh
Thực hành 1
7. Thực hành 1
Cho ba số tự nhiên m, n, p theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh ba số LATEX(2^m), LATEX(2^n), LATEX(2^p) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Giải
Vì m, n, p theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên: n = m = p – n = d. Ta có: LATEX(2^n): LATEX(2^m)= LATEX(2^(n – m)) = LATEX(2^d) LATEX(2^p): LATEX(2^n)= LATEX(2^(p – n))= LATEX(2^d) Do đó LATEX(2^n): LATEX(2^m)= LATEX(2^p): LATEX(2^n) nên đây là một cấp số nhân với công bội q = LATEX(2^d).
Vận dụng 1
8. Vận dụng 1
Một quốc gia có dân số năm 2011 là P triệu người. Trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm dân số tăng a%. Chứng minh rằng dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạp thành cấp số nhân. Tìm công bội của cấp số nhân này.
Giải
Dân số năm 2011 là: LATEX(T_1)= P (triệu người). Năm 2012 là: LATEX(T_2)= P + a%P = (1 + a%).P (triệu người). Năm 2013 là: LATEX(T_3)= (1 + a%).P + a%(1 + a%).P = LATEX((1 + a%)^2).P (triệu người). ... Năm 2021 là: LATEX(T_10)= LATEX((1 + a%)^10).P (triệu người). Do đó dãy số dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạp thành cấp số nhân với công bội q = 1 + a%.
Vận dụng 2
9. Vận dụng 2
Tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ tạo thành cấp số nhân. Biết tần số của hai phím Sol và Si lần lượt là 415 Hz và 466 Hz. Tính tần số của phím La (làm tròn đến hàng đơn vị).
Ảnh
Vì tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si tạo thành một cấp số nhân nên ta có tần số của phím La bằng: LATEX(sqrt415.466)≈ 440
Giải
II - Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Hoạt động 2
Ảnh
Ảnh
II - Số hạng tổng quát của cấp số nhân
1. Hoạt động 2
Cho cấp số nhân (LATEX(u_n)) có công bội q. Tỉnh LATEX(u_2), LATEX(u_3), LATEX(u_4) và LATEX(u_10) theo LATEX(u_1) và q
Giải
Ta có: LATEX(u_2)= LATEX(u_1).q; LATEX(u_3)= LATEX(u_2).q = LATEX(u_1).q.q = LATEX(u_1).LATEX(q^2) LATEX(u_4)= LATEX(u_3).q = LATEX(u_1).q2.q = LATEX(u_1).LATEX(q^3) LATEX(u_10)= LATEX(u_9).q = LATEX(u_8).q.q = ... = LATEX(u_1).LATEX(q^9).
Định lý 1
Ảnh
Hình vẽ
2. Định lý 1
Nếu một cấp số nhân (u) có số hạng đầu u, và công bội q thì số hạng tổng quát u, của nó được xác định bởi công thức: LATEX(u_n)= LATEX(u_1).LATEX(q^(n-1)), n≥2.
Ví dụ 4
Ảnh
3. Ví dụ 4
Cho cấp số nhân có 8 số hạng, số hạng đầu là 4374, số hạng cuối là 2. Tìm công bội của cấp số nhân đó
Giải
Ta có LATEX(u_1)= 4374 và LATEX(u_8)= 2. Gọi q là công bội của cấp số nhân này, ta có: LATEX(u_8)= LATEX(u_1)= LATEX(q^7), suy ra: LATEX(q^7)= LATEX((u_8)/(u_1))= LATEX(2/4374)= LATEX(1/2187)= LATEX((1/3)^7), do đó q = LATEX(1/3)
Thực hành 2
4. Thực hành 2
Viết công thức số hạng tổng quát u theo số hạng đầu u, và công bội q của các cấp số nhân sau: a) 5; 10; 20; 40; 80;... b) 1; LATEX(1/10); LATEX(1/100); LATEX(1/1000); LATEX(1/10000);...
a) Cấp số nhân 5; 10; 20; 40; 80; ... có số hạng đầu LATEX(u_1)= 5 và công bội q = 2. Khi đó công thức số hạng tổng quát: LATEX(u_n)= LATEX(u_1).LATEX(q^(n-1))= 5.LATEX(2^(n-1)) b) Cấp số nhân: 1; LATEX(1/10); LATEX(1/100); LATEX(1/1000); LATEX(1/10000);... có số hạng đầu LATEX(u_1)= 1 và công bội q = LATEX(1/10). Khi đó công thức số hạng tổng quát: LATEX(u_n)= 1. LATEX((1/10)^(n-1))= LATEX((1/10)^(n-1))
Giải
Vận dụng 3
5. Vận dụng 3
Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày, nghĩa là sau 138 ngày, khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa. Tính khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 690 ngày.
Giải
Khối lượng nguyên tố poloni 210 lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu LATEX(u_1)= 20 gam và công bội q = LATEX(1/2) có số hạng tổng quát là: LATEX(u_n)= 20LATEX((1/2)^(n-1)) Ta có: 690 = 138.5 nên n = 5, khi đó: LATEX(u_5)= 20LATEX((1/2)^(5-1))= 20LATEX((1/2)^4)= LATEX(5/4)= 1,25 Vậy sau 690 ngày khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 là: 1,25 gam.
III - Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Hoạt động 3
Ảnh
III - Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp só nhân
1. Hoạt động 3
Cho cấp số nhân (LATEX(u_n)) có công bội q. Đặt LATEX(S_n)= LATEX(u_1)+ LATEX(u_2)+ ... + LATEX(u_n). So sánh q.LATEX(S_n) và LATEX(u_1)+ LATEX(u_2)+ ... + LATEX(u_n)+ q.LATEX(u_n)
Giải
Ta có: LATEX(S_n)q = (LATEX(u_1)+ LATEX(u_2)+ ... + LATEX(u_n)).q = LATEX(u_1)q+ LATEX(u_2)q+ ... + LATEX(u_(n-1))q+ LATEX(u_n)).q = LATEX(u_2)+ LATEX(u_3)+ LATEX(u_4)+... + LATEX(u_n)+ LATEX(u_n).q = (LATEX(u_2)+ LATEX(u_3)+ LATEX(u_4)+... + LATEX(u_n)) + q.LATEX(u_n) Vậy q.LATEX(S_n)= (LATEX(u_2)+ LATEX(u_3)+ LATEX(u_4)+... + LATEX(u_n)) + q.LATEX(u_n)
Định lý 2
Hình vẽ
2. Định lý 2
Giả sử (u) là một cấp số nhân có công bội q ≠ 1. Đặt LATEX(S_n)= LATEX(u_1)+ LATEX(u_2)+...+LATEX(u_n), khi đó: LATEX(S_n)= LATEX((u_1(1-q^n))/(1-q))
Ảnh
Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
3. Chú ý
Khi q = 1 thì LATEX(S_n)= n. LATEX(u_1)
Ví dụ 5
Ảnh
4. Ví dụ 5
Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (LATEX(u_n)) có số hạng đầu LATEX(u_1)= 1 và công bội q = 2
Giải
Áp dụng công thức LATEX(S_n)= LATEX((u_1(1-q^n))/(1-q)), ta có: LATEX(S_10)= LATEX((1(1-2^10))/(1-2))= LATEX(2^10)- 1= 1023
Thực hành 3
5. Thực hành 3
Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (LATEX(u_n)) trong trường hợp sau: LATEX(u_1)= LATEX(10^5); q = 0,1; n = 5;
Giải
(LATEX(u_n)) là cấp số nhân có số hạng đầu LATEX(u_1)= LATEX(10^5) và công bội q = 0,1 nên có số hạng tổng quát là: LATEX(u_n)= LATEX(u_1).LATEX(q^(n-1))= LATEX(10^5).LATEX((0,1)^(n – 1)) . Khi đó ta có: LATEX(u_5)= LATEX(10^5).LATEX((0,1)^(5-1))= LATEX(10^5).LATEX((0,1)^4)= 10. Tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (LATEX(u_n)) là: LATEX(S_n)= LATEX((5(10^5+10))/2)
Vận dụng 4
6. Vận dụng 4
Trong bài toán khởi động ở đầu bài học, tính tổng các độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên
Giải
Dãy số đã cho là một cấp số nhân với số hạng đầu LATEX(u_1)= 120 và công sai q = LATEX(1/2) Khi đó công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân này là: LATEX(u_n)= 120.(LATEX(1/2))^(n-1) Độ cao của quả bóng sau lần rơi thứ 10 là: LATEX(u_10)= 120.(LATEX(1/2))^(10-1)= LATEX(15/64) Tổng độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên là: LATEX(S_10)≈LATEX((10(120+15/64))/2)
IV - Bài tập
Bài 1,2,3
IV - Bài tập
1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? a) LATEX(u_n)= 3.LATEX((-2)^n) b) LATEX(u_n)= LATEX((-1)^(n+1)).LATEX(7^n) 2. a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất. b) Viết sáu số xen giữa các số – 2 và 256 để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp số hạng thứ 15 là bao nhiêu? 3. Ba số LATEX(2/(b-a)), LATEX(1/b), LATEX(2/(b-c)) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân
Bài 4,5
Ảnh
4. Tính các tổng sau: a) LATEX(S_n)= 1 + LATEX(1/3)+ LATEX(1/(3^2))+ ...+ LATEX(1/(3^n)) b) LATEX(S_n)= 9 + 99 + 999 +...+ 99...9
n chữ số 9
5. Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm, cứ mỗi phút số lượng lại tăng lên gấp đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút.
Ảnh
Bài 6, 7
Ảnh
6. Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng 2,1 triệu người và tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75%. a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032. b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022?
7. Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy, người chơi sẽ được dây an toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược lên 60% chiều sâu của cú nhảy. Một người chơi bungee thực hiện cú nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên là 9m. a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba. b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu.
V - Dặn dò
Dặn dò
V - Dặn dò
Ảnh
- Làm hét bài tập trong sách giáo khoa - Làm bài tập trong phần Bài tập cuối chương II
Ảnh
Kết thúc
Ảnh
↓ CHÚ Ý: Bài giảng này được nén lại dưới dạng ZIP và có thể chứa nhiều file. Hệ thống chỉ hiển thị 1 file trong số đó, đề nghị các thầy cô KIỂM TRA KỸ TRƯỚC KHI NHẬN XÉT ↓
Các ý kiến mới nhất