CHƯƠNG II. BÀI 3. CẤP SỐ NHÂN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
CHƯƠNG II. BÀI 3. CẤP SỐ NHÂN
Khởi động
Tình huống mở đầu
Ảnh
Vi khuẩn E. coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. (Nguồn: Sinh học 10, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010) Giả sử lúc đầu có 100 vi khuẩn E. coli.
Ảnh
Hỏi có bao nhiêu vi khuẩn E.coli sau 180 phút?
- Tình huống mở đầu:
I. Định nghĩa
- Hoạt động 1
I. Định nghĩa
Ảnh
HĐ1: Cho dãy số latex(1/3); 1; 3; 9; 27 81; 243. Kể từ số hạng thứ hai, nêu mối liên hệ của mỗi số hạng với số hạng đứng ngay trước nó.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q, tức là: latex(u_n = u_(n - 1) . q) với latex(n >= 2). Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
- Nhận xét
Ảnh
* Nếu latex((u_n)) là cấp số nhân với công bội q là latex(u_n != 0) với mọi latex(n >= 1) thì với số tự nhiên latex(n >= 2), ta có: latex((u_n)/(u_(n - 1)) = q). * Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi.
- Nhận xét:
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân latex((u_n)) với latex(u_1 = -2), công bội q = latex(-1/2). Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân đó.
Giải:
Năm số hạng đầu của cấp số nhân là latex(u_1 = - 2); latex(u_2 = u_1 . q = -2. -1/2 = 1; u_3 = u_2 . q = 1. -1/2 = -1/2); latex(u_4 = u_3 . q = -1/2. -1/2 = 1/4; u_5 = u_4 . q = 1/4. -1/2 = -1/8).
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Cho cấp số nhân latex((u_n)) với latex(u_1 = -6, u_2 = -2). a) Tìm công bội q. b) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân đó.
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Trong các dãy số hữu hạn sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao? a) 125, 25, 5, 1, latex(1/5); b) 2, -6, 18, 45.
Ảnh
Giải:
a) latex(25/125 = 5/25 = 1/5 = (1/5)/1 = 1/5). Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = latex(1/5). b) latex(-6/2 = -3, 19/-6 = -3, 54/18 = 3 != -3). Vậy dãy số đã cho không phải là cấp số nhân.
- Luyện tập 2
Ảnh
Cho dãy số (latex(u_n)) với latex(u_n = 3.2^n (n >= 1)). Dãy latex((u_n)) có là cấp số nhân không? Vì sao?
- Luyện tập 2:
II. Số hạng tổng quát
- Hoạt động 2
Ảnh
II. Số hạng tổng quát
HĐ2: Cho cấp số nhân latex((u_n)) có số hạng đầu latex(u_1), công bội q. a) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân theo latex(u_1) và q. b) Dự đoán công thức tính latex(u_n) theo latex(u_1) và q.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Nếu cấp số nhân latex(u_n) có số hạng đầu latex(u_1) và công bội q thì số hạng tổng quát latex(u_n) được xác định bởi công thức: latex(u_n = u_1 . q^(n - 1)) với latex(n >= 2).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân latex((u_n)) với số hạng đầu latex(u_1 = 4), công bội latex(q = -1/2). Tính latex(u_7).
Theo công thưucs số hạng tổng quát của cấp số nhân, ta có: latex(u_7 = u_1 . q^(7 - 1) = 4. (-1/2)^6 = 1/16).
- Giải:
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Dân số trung bình của Việt Nam năm 2020 là 97,6 triệu người, tỉ lệ tăng dân số là 1,14%/ năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số không đổi qua các năm. a) Sau 1 năm, dân số của Việt Nam sẽ là bao nhiêu triệu người (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? b) Viết công thức tính dân số Việt Nam sau n năm kể từ năm 2020.
Ảnh
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Bác Linh gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng tiền tiết kiệm với hình thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 6%/năm. Viết công thức tính số tiền (cả gốc lẫn lãi) mà bác Linh có được sau n năm (giả sử lãi suất không thay đổi qua các năm).
IIII. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
- Hoạt động 3
Ảnh
HĐ3: Cho cấp số nhân latex((u_n)) có số hạng đầu latex(u_1), công bội latex(q !=1). Đặt latex(S_n = u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_n) latex(= u_1 + u_1q + u_1q^2 + ... + u_1q^(n-1)). a) Tính latex(S_n.q) và latex(S_n – S_n.q). b) Từ đó, hãy tìm công thức tính latex(S_n) theo latex(u_1) và q.
IIII. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
* Cho cấp số nhân latex((u_n)) có số hạng đầu latex(u_1) và công bội latex(q != 1). Đặt latex(S_n = u_1 + u_2 + u_3 + .... + u_n). Khi đó: latex(S_n = (u_1 (1-q^n))/(1-q)). * Nếu q = 1 thì latex(S_n = n.u_1)
- Ví dụ 5
Giải:
Ảnh
S là tổng mười số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu latex(u_1 = 1) và công bội q = latex(1/2). Vậy S = latex((1.[1/2]^10)/(1 - 1/2) = 1023/512).
Ví dụ 5: Tính tổng: S = latex(1 + 1/2 + 1/(2^2) + ... + 1/(2^9)).
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số nhân sau: a) 3; -6; 12; - 24; ... với n = 12; b) latex(1/10, 1/100, 1/1000,...) với n = 5.
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Giả sử anh Tuấn kí hợp đồng lao động trong 10 năm với điều khoản về tiền lương như sau: Năm thứ nhất, tiền lương của anh Tuấn là 60 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương của anh Tuấn được tăng lên 8%. Tính tổng số tiền lương anh Tuấn lĩnh được trong 10 năm đi làm (đơn vị: triệu đồng, làm tròn đến hàng phần nghìn).
Ảnh
Bài tập
Bài 1 (Bài tập)
Ảnh
Bài 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao? a) 5; – 0,5; 0,05; – 0,005; 0,0005; b) -9; 3; -1; latex(1/3; -1/9); c) 2; 8; 32; 64; 256.
Bài 2 (Bài tập)
Ảnh
Bài 2: Chứng minh mỗi dãy số latex((u_n)) với mỗi số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân: a) latex(u_n = -3/4 . 2^n); b) latex(u_n = 5/(3^n)) c) latex(u_n = (-0,75)^n)
Bài 3 (Bài tập)
Ảnh
Bài 3: Cho cấp số nhân latex((u_n)) với số hạng đầu latex(u_1 = – 5), công bội q = 2. a) Tìm latex((u_n)); b) Số -320 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên? c) Số 160 có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không?
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương III. Bài 1. Giới hạn của dãy số".
Dặn dò:
- Cảm ơn
Ảnh