BÀI 6: CẤP SỐ CỘNG
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
BÀI 6: CẤP SỐ CỘNG
Khởi động
Khởi động
Một nhà hát có 25 hàng ghế với 16 ghế ở hàng thứ nhất, 18 ghế ở hàng thứ hai, 20 ghế ở hàng thứ 3 và cứ tiếp tục theo quy luật đó, tức là hàng sau nhiều hơn hàng liền trước nó 2 ghế. Tính tổng số ghế của nhà hát đó.
- Khởi động:
Ảnh
Ảnh
Hình thàn kiến thức
1. Định nghĩa
Ảnh
1. Định nghĩa
Cho dãy số latex((u_n)) gồm tất cả các số tự nhiên lẻ, xếp theo thứ tự tăng dần. a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Dự đoán công thức biểu diễn số hạng latex(u_n) theo số hạng latex(u_(n - 1)).
Trả lời:
a) Năm số hạng đầu của dãy số latex((u_n)) là năm số tự nhiên lẻ đầu tiên và đó là: 1; 3; 5; 7; 9. b) Nhận thấy trong dãy số latex((u_n)), số hạng sau hơn số hạng liền trước 2 đơn vị. Do đó, ta dự đoán công thức biểu diễn số hạng latex(u_n) theo số hạng latex(u_(n- 1)) là latex(u_n = u_(n - 1) + 2).
HĐ1: Nhận biết cấp số cộng
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. * Cấp số cộng latex((u_n)) với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi: latex(u_n = u_(n -1) + d) với latex(n >= 2)
- Câu hỏi mở rộng
Ảnh
- Câu hỏi mở rộng:
Dãy số không đổi a, a, a, ... có phải là một cấp số cộng không?
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng latex((u_n)) có số hạng đầu latex(u_1 = 2) và công sai d = 3. Hãy viết năm số hạng đầu của cấp số cấp số cộng này.
Giải:
Năm số hạng đầu của cấp số cộng này là: latex(u_1 = 2, u_2 = u_1 + d = 2 + 3 = 5, u_3 = u_2 + d = 5 + 3 = 8), latex(u_4 = u_3 + d = 8 + 3 = 11, u_5 = u_4 + d = 11 + 3 = 14).
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Cho dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = 5n - 1). Chứng minh rằng latex((u_n)) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu latex(u_1) và công sai d của nó.
Giải:
Ta có latex(u_n - u_(n - 1)= (5n - 1) - [5(n - 1) - 1] = 5), với mọi latex(n >= 2). Do đó latex((u_n)) là cấp số cộng có số hạng đầu: latex(u_1 = 5 . 1 = 4) và công sai d = 5.
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Cho dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = – 2n + 3). CMR: latex((u_n)) là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng này.
2. Số hạng tổng quát
Ảnh
Ảnh
2. Số hạng tổng quát
Cho cấp số cộng latex((u_n)) với số hạng đầu latex(u_1) và công sai d. a) Tính các số hạng latex(u_2, u_3, u_4, u_5) theo latex(u_1) và d. b) Dự đoán công thức tính số hạng tổng quát latex(u_n) theo latex(u_1) và d.
Trả lời:
a) Ta có: latex(u_2 = u_1 + d); latex(u_3 = u_2 + d = (u_1 + d) + d = u_1 + 2d); latex(u_4 = u_3 + d = (u_1 + 2d) + d = u_1 + 3d); latex(u_5 = u_4 + d = (u_1 + 3d) + d = u_1 + 4d). b)Từ câu a, ta dự đoán công thức tính số hạng tổng quát latex(u_n) theo latex(u_1) và d là: latex(u_n = u_1 + (n – 1)d).
HĐ2: Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Nâng cấp số cộng latex((u_n)) có số hạng đầu latex(u_1) và công sai d thì số hạng tổng quát latex(u_n) của nó được xác định theo công thức: latex(u_n = u_1 + (n - 1)d).
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của cấp số cộng latex((u_n)): 10, 5, ....
Ảnh
Giải:
* Cấp số cộng này có số hạng đầu latex(u_1 = 10) và công sai d = -5. * Do đó năm số hạng đầu là: 10, 5, 0, -5, -10. * Số hạng thứ 100 là latex(u_100 = u_1 + (100 - 1)d = 10 + 99 . (-5) = -485).
- Ví dụ 4
Ảnh
Ví dụ 4: Số hạng thứ 10 của một cấp số cộng latex((u_n)) bằng 48 và số hạng thứ 18 bằng 88. Tìm số hạng thứ 100 của cấp số cộng đó.
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Cho dãy số latex((u_n)) với latex(u_n = 4n - 3). Chứng minh rằng latex((u_n)) là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu latex(u_1) và công sai d của của cấp số cộng này. Từ đó viết số hạng tổng quát latex(u_n) dưới dạng: latex(u_n = u_1 + (n – 1)d).
3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Ảnh
Ảnh
3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Cho cấp số cộng latex((u_n)) với số hạng đầu latex(u_1) và công sai d. Để tính tổng của n số hạng đầu: latex(S_n = u_1 + u_2 + ... + u_(n - 1) + u_n), hãy lần lượt thực hiện các yêu cầu sau: a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng latex(S_n) theo số hạng đầu latex(u_1) và công sai d. b) Viết latex(S_n) theo thứ tự ngược lại: latex(S_n = u_n + u_(n - 1) + ... + u_2 + u_1) và sử dụng kết quả ở phần a) để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng này theo latex(u_1) và d. c) Cộng từng vế hai đẳng thức nhận được ở a), b), để tính latex(S_n) theo latex(u_1) và d.
HĐ3: Xây dựng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Cho cấp số cộng latex((u_n)) với công sai d. Đặt latex(S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n). Khi đó: latex(S_n = n/2 [2u_1 +(n - 1)d])
Chú ý: Sử dụng CT latex(u_n = u_1 + (n-1)d), ta có thể viết tổng latex(S_n) dưới dạng: latex(S_n = (n(u_1 + u_n))/2).
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Giải bài toán ở tình huống mở đầu
Ảnh
Giải:
Số ghế ở mỗi hàng của nhà hát lập thành một cấp số cộng, gồm 25 số hạng, với số hạng đầu latex(u_1 = 16) và công sai d = 2. Tổng các số hạng này là: latex(S_25 = u_1 + u_2 + ... + u_25 = 25/2[2u_1 + (25 - 1)d]) latex(= 25/2[2 . 16 + 24 . 2] = 1 000). Vậy nhà hát đó có tổng cộng 1000 ghế.
- Ví dụ 6
Ảnh
Ví dụ 6: Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng 2, 5, 8, ... để được kết quả bằng 345?
- Vận dụng
Ảnh
- Vận dụng:
Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công nghệ với mức lương khởi điểm là 100 triệu đồng một năm. Công ty sẽ tăng thêm lương cho anh Nam mỗi năm là 20 triệu đồng. Tính tổng số tiền lương mà anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc cho công ty đó.
Luyện tập và vận dụng
Bài 1 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 1: Xác định công sai, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số cộng: a) 4, 9, 14, 19, ...; b) 1, - 1, - 3, - 5, ....
Bài 2 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số latex((u_n)) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng: latex(u_n = u_1 + (n – 1)d). a) latex(u_n = 3 + 5n); b) latex(u_n = 6n – 4); c) latex(u_1 = 2, u_n = u_(n – 1) + n); d) latex(u_1 = 2, u_n = u_(n – 1) + 3).
Bài 3 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 3: Một cấp số cộng có số hạng thứ 5 bằng 18 và số hạng thứ 12 bằng 32. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng này.
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 7: Cấp số nhân".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC !