CHƯƠNG 2. BÀI 2. CẤP SỐ CỘNG
Trang bìa
Trang bìa
CHƯƠNG 2. BÀI 2. CẤP SỐ CỘNG
Ảnh
TOÁN 11
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Khởi động
Hình vẽ
Một rạp hát có 20 hàng ghế. Tính từ sân khấu, số lượng ghế của các hàng tăng dần như trong hình minh hoạ dưới đây.
Làm thế nào để biết được số ghế của một hàng bất kì và tính được tổng số ghế có trong rạp hát đó?
Ảnh
Ảnh
Bạn hãy đếm và nêu nhận xét về số ghế của năm hàng đầu tiên.
I - Cấp số cộng
Hoạt động 1
Ảnh
I - Cấp số cộng
1. Hoạt động 1
Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau: a) 2; 5; 8; 11; 14 (Hình 1). b) 2; 4; 6; 8. c) 5; 10; 15; 20; 25. d) -5; -2; 1; 4; 7; 10.
Ảnh
Điểm giống nhau của các dãy số là: - Dãy số trên đều là các dãy số tăng. - Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi.
Giải
Khái niệm
Ảnh
Hình vẽ
2. Khái niệm
"Cấp số cộng" là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là: LATEX(u_(n+1)) = LATEX(u_n) + d với n∈N*. Số d được gọi là "công sai" của cấp số cộng.
Ví dụ 1
3. Ví dụ 1
Tìm cấp số cộng trong các dãy số sau: a) 5; 10; 15; 20; 25; 30. b) 1; 2; 4; 8. c) 7; 7; 7; 7; 7.
Giải
a) Dãy số: 5; 10; 15; 20; 25; 30 là cấp số cộng với công sai d = 5. b) Dãy số: 1; 2; 4; 8 có LATEX(u_2)- LATEX(u_1)≠ LATEX(u_3)- LATEX(u_2) nên không phải là cấp số cộng. c) Dãy số: 7; 7; 7; 7; 7 là cấp số cộng với công sai d = 0.
Ảnh
Ví dụ 2
Ảnh
4. Ví dụ 2
Cho cấp số cộng: 3; 6; 9; 12; Tìm số hạng đầu, công sai và LATEX(u_5)
Giải
Cấp số cộng đã cho có số hạng đầu LATEX(u_1) = 3; công sai d = 3. Ta có: LATEX(u_4)= 12 nên LATEX(u_5)= LATEX(u_4)+ d = 12 + 3 = 15
Ảnh
Ví dụ 3
5. Ví dụ 3
Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai của mỗi cấp số cộng đó. a) Dãy số (LATEX(u_n)) với LATEX(u_n) = 2n + 1. b) Dãy số (LATEX(v_n)) với LATEX(v_n) = -3n + 5.
Giải
a) Ta có: LATEX(u_1) = 2.1 + 1 = 3, LATEX(u_(n+1)) = 2(n + 1) + 1 = (2n + 1) + 2 = LATEX(u_n) +2, ∀n∈N*. Vậy dãy số (LATEX(u_n)) là cấp số cộng với số hạng đầu LATEX(u_1) = 3 và công sai d = 2. b) Ta có: LATEX(v_n) = -3.1 + 5 = 2, LATEX(u_(n+1))= -3(n+1) + 5 = (-3n+5) - 3 = LATEX(v_n) +(-3), ∀n ∈ Ν*. Vậy dãy số (LATEX(v_n)) là cấp số cộng với số hạng đầu LATEX(u_1) = 2 và công sai d = -3.
Ví dụ 4
Ảnh
6. Ví dụ 4
Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng. Tính b theo a và c.
Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có d = b - a = c - b. Do đó b = LATEX((a+c)/2)
Giải
Ảnh
Nhận xét
Ảnh
Hình vẽ
7. Nhận xét
Nếu (LATEX(u_n)) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là: LATEX(u_(k-1))+ LATEX(u_(k+1))
Hình vẽ
2
(LATEX(u_k)) = ( k ≥2)
Thực hành 1
8. Thực hành 1
Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành cấp số cộng. Tìm số đo ba góc đó.
Giải
Giả sử tam giác vuông thỏa mãn điều kiện bài toán là tam giác ABC vuông tại A. Đặt LATEX(angleB) = α, LATEX(angleC) = β, LATEX(angleA) = 90° (α < β < 90°) Ta có: α, β, 90° là một cấp số cộng nên ta có: β = LATEX((α + 90°)/2) Mặt khác, ta có: α + β + 90° = 180° LATEX(hArr) α + LATEX((α + 90°)/2) + 90°= 180° LATEX(hArr) 3α = 90° LATEX(hArr) α = 30° LATEX(rArr) β = LATEX(( 30°+ 90°)/2) = 60° Vậy LATEX(angleB) = 30°, LATEX(angleC) = 60°, LATEX(angleA) = 90°
Vận dụng 1
9. Vận dụng 1
Mặt cắt của một tổ ong có hình lưới tạo bởi các ô hình lục giác đều. Từ một ô đầu tiên, bước thứ nhất, các ong thợ tạo ra vòng 1 gồm 6 ô lục giác; bước thứ hai, các ong thợ sẽ tạo ra vòng 2 có 12 ô bao quanh vòng 1; bước thứ ba, các ong thợ sẽ tạo ra 18 ô bao quanh vòng 2; cứ thế tiếp tục (Hình 2). Số ô trên các vòng theo thứ tự có tạo thành cấp số cộng không? Nếu có, tìm công sai của cấp số cộng này.
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Vòng 1: Có 6 ô; Vòng 2: Có 12 ô; Vòng 3: Có 18 ô; ... Ta có dãy số: 6; 12; 18; ... Từ số hạng thứ 2 trở đi số hạng sau hơn số hạng trước 6 đơn vị nên đây là một cấp số cộng có số hạng đầu là 6 và công sai là 6.
Giải
II - Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Hoạt động 2
Ảnh
II - Số hạng tổng quát của cấp số cộng
1. Hoạt động 2
Cho cấp số cộng (LATEX(u_n)). Hãy cho biết các hiệu số sau đây gấp bao nhiêu lần công sai d của (LATEX(u_n)): LATEX(u_2)- LATEX(u_1); LATEX(u_3)- LATEX(u_1); LATEX(u_4)- LATEX(u_1);...; LATEX(u_n)- LATEX(u_1)
Giải
Ta có: LATEX(u_2)– LATEX(u_1) = d LATEX(u_3)– LATEX(u_1) = 2d LATEX(u_4)– LATEX(u_1) = 3d ... LATEX(u_n) – LATEX(u_1) = (n – 1)d.
Định lý 1
Ảnh
Hình vẽ
2. Định lý 1
Nếu một cấp số cộng (LATEX(u_n)) có số hạng đầu LATEX(u_1), và công sai d thì số hạng tổng quát (LATEX(u_n)), của nó được xác định bởi công thức: (LATEX(u_n)) = LATEX(u_1)+ (n - 1)d, n ≥ 2.
Ảnh
Ví dụ 5
Ảnh
3. Ví dụ 5
Tìm số hạng tổng quát u, của cấp số cộng có số hạng đầu LATEX(u_1) = 3 và công sai d = 9.
Giải
Ta có LATEX(u_n)= LATEX(u_1)+ (n - 1)d = 3 + (n - 1). 9 = 9n - 6. Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là LATEX(u_n) = 9n - 6.
Thực hành 2
4. Thực hành 2
Tìm số hạng tổng quát của các cấp số cộng sau: a) Cấp số cộng (LATEX(a_n)) có LATEX(a_1) = 5 và d = -5; b) Cấp số cộng (LATEX(b_n)) có LATEX(b_1) = 2 và LATEX(b_10) = 20.
Giải
a) Cấp số cộng (LATEX(a_n)) có LATEX(a_1)= 5 và d = – 5 Số hạng tổng quát là: (LATEX(a_n)) = LATEX(a_1) + (n – 1).d = 5 + (n – 1).(– 5) = 5 + (– 5n) + 5 = – 5n + 10. b) Cấp số cộng (LATEX(b_n)) có LATEX(b_1) = 2 và LATEX(b_10) = 20. Số hạng tổng quát là: (LATEX(a_n)) = LATEX(b_1) + (n – 1)d Khi đó LATEX(b_10) = 2 + (10 – 1).d = 2 + 9d = 20 ⇒ d = 2 Vậy số hạng tổng quát là: bn = 2 + (n – 1).2 = 2n.
Ảnh
Vận dụng 2
5. Vận dụng 5
Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng (LATEX(c_n)) có LATEX(c_4) = 80 và LATEX(c_6) = 40.
Giải
Ta có: LATEX(c_4)= LATEX(c_1)+ 3d = 80 và LATEX(c_6) = LATEX(c_1)+ 5d = 40. Khi đó ta có hệ phương trình: LATEX(c_1)+ 3d = 80 LATEX(c_1)= 140 LATEX(c_1)+ 5d = 40 d = – 20 Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng trên là: (LATEX(c_n)) = 140 + (n – 1).(– 20) = – 20n + 160. Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng (LATEX(c_n)) là: LATEX(c_n) = – 20n + 160.
{ {
III - Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng
Hoạt động 3
III - Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng
1. Hoạt động 3
Cho cấp số cộng (LATEX(u_n)) có công sai d a) Tính các tổng: LATEX(u_1)+ LATEX(u_n); LATEX(u_2)+ LATEX(u_(n-1)); LATEX(u_3)+ LATEX(u_(n-2));...; LATEX(u_k)+ LATEX(u_(n-k+1)) theo LATEX(u_1), n và d b) Chứng tỏ rằng: 2(LATEX(u_1)+ LATEX(u_2)+...+ LATEX(u_n)) = n(LATEX(u_1)+ LATEX(u_n))
Ảnh
Ảnh
Giải
a) Ta có: LATEX(u_n) = LATEX(u_1)+ (n – 1)d, LATEX(u_(n-1))= LATEX(u_1)+ (n – 1 – 1)d = LATEX(u_1)+ (n – 2)d Khi đó: LATEX(u_1)+ LATEX(u_n)= LATEX(u_1)+ LATEX(u_1)+ (n – 1)d = 2LATEX(u_1) + (n – 1)d; LATEX(u_2)+ LATEX(u_(n-1))= LATEX(u_1)+ d + LATEX(u_1)+ (n – 2)d = 2LATEX(u_1)+ (n – 1)d; LATEX(u_3)+ LATEX(u_(n-2))= LATEX(u_1)+ 2d + LATEX(u_1)+ (n – 3)d = 2LATEX(u_1)+ (n – 1)d; ... LATEX(u_k)+ LATEX(u_(n-k+1))= LATEX(u_1)+ (k – 1)d + LATEX(u_1)+ (n – k + 1 – 1)d = 2LATEX(u_1)+ (n – 1)d; Vậy LATEX(u_1) + LATEX(u_n) = LATEX(u_2) + LATEX(u_(n-1)) = LATEX(u_3) + LATEX(u_(n-2)) = ... = LATEX(u_k) + LATEX(u_(n-k+1)) b) Ta có: 2(LATEX(u_1)+ LATEX(u_2)+ LATEX(u_3)+ ... + LATEX(u_n)) = 2[(LATEX(u_1)+ LATEX(u_n))+ (LATEX(u_2)+ LATEX(u_(n-1)))+ (LATEX(u_3)+ LATEX(u_(n-2)))+ ... + (LATEX(u_k)+ LATEX(u_(n-k+1))] = 2[(LATEX(u_1)+ LATEX(u_n))+ (LATEX(u_1)+ LATEX(u_n))+ ... + (LATEX(u_1)+ LATEX(u_n))] = 2.LATEX(n/2)(LATEX(u_1)+ LATEX(u_n))= n(LATEX(u_1)+ LATEX(u_n))
Định lý 2
Ảnh
Hình vẽ
2. Định lý 2
Giả sử (LATEX(u_n)) là một cấp số cộng có công sai d. Đặt LATEX(S_n)= LATEX(u_1)+LATEX(u_2)+...+LATEX(u_n), khi đó: LATEX(S_n)= LATEX((n(u_1+u_n))/2) hay LATEX(S_n)= LATEX((n(2u_1+(n-1)d))/2)
Ví dụ 6
3. Ví dụ 6
a) Cho cấp số cộng (LATEX(u_n)) có LATEX(u_4)+ LATEX(u_6)= 20. Tính tổng 9 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. b) Cho cấp số cộng (LATEX(v_n)) có LATEX(S_3)= - 3 và LATEX(S_5)= - 15.
Giải
a) Ta có LATEX(u_4)+ LATEX(u_6)= (LATEX(u_1)+3d) + (LATEX(u_1) + 5d) = 2LATEX(u_1) + 8d = 20. Suy ra LATEX(S_9) = LATEX((9(2u_1+ 8d))/2)= LATEX((9.20)/2) = 90 b) Ta có: LATEX(S_3)= LATEX((3(2v_1+ 2d))/2) = -3, suy ra LATEX(v_1)+ d = -1 (1) LATEX(S_5)= LATEX((5(2v_1+ 4d))/2) = -15, suy ra LATEX(v_1)+ 2d = -3 (2) Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình: LATEX(v_1)+ d = -1 LATEX(v_1)+ 2d = -3 Giải hệ phương trình trên ta được LATEX(v_1)= 1 và d = -2. Do đó LATEX(S_50) = LATEX((50(2v_1+ 49d))/2) = -2400.
{
Thực hành 3
4. Thực hành 3
a) Tính tổng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên. b) Cho cấp số cộng (LATEX(u_n)) có LATEX(u_3)+ LATEX(u_28)= 100. Tính tổng 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
Giải
a) 50 số tự nhiên chẵn lập thành một cấp số cộng, có LATEX(u_1)= 0, công sai d = 2. Khi đó tổng của 50 số này là: LATEX(S_50)= LATEX((50(0 + 50))/2) = 1250 b) Ta có: LATEX(u_3)+ LATEX(u_28)= LATEX(u_1)+ 2d + LATEX(u_1)+ 27d = 2LATEX(u_1)+ 29d = 100 Tổng của 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là: LATEX(S_30)= LATEX((30(u_1+ u_30))/2)= LATEX((30(u_1+ u_1 + 29d))/2)= LATEX((30(2u_1+ 29d))/2)= LATEX((30.100)/2) = 1500
Vận dụng 3
Ảnh
5. Vận dụng 3
Một rạp hát có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt. Hàng thứ nhất có 17 ghế, hàng thứ hai có 20 ghế, hàng thứ ba có 23 ghế,... cứ thế tiếp tục cho đến hàng cuối cùng (Hình 4). a) Tính số ghế có ở hàng cuối cùng. b) Tính tổng số ghế có trong rạp.
Ảnh
Giải
a) Số ghế của mỗi hàng lập thành một cấp số cộng, có số hạng đầu là LATEX(u_1)= 7, công sai d = 3. Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là: LATEX(u_n) = LATEX(u_1)+ (n – 1)d = 7 + (n – 1).3 a) Số ghế có ở hàng cuối cùng (hàng số 20) là: LATEX(u_20)= 17 + (20 – 1).3 = 74. b) Tổng số ghế có trong rạp là tổng của 20 số hạng đầu trong cấp số cộng và bằng: LATEX(S_20)= LATEX((20(17 + 74))/2) Vậy tổng số ghế trong rạp là 910 ghế.
IV - Bài tập
Bài 1,2,3,4
IV - Bài tập
1. Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số cộng: 1; – 3; – 7; – 11; – 15. 2. Cho (LATEX(u_n)) là cấp số cộng với số hạng đầu LATEX(u_1)= 4 và công sai d = – 10. Viết công thức số hạng tổng quát LATEX(u_n). 3. Cho cấp số cộng (LATEX(u_n)) có số hạng đầu LATEX(u_1)= – 3 và công sai d = 2. a) Tìm LATEX(u_12) b) Số 195 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó? 4. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó. a) LATEX(u_n)= 3 – 4n b) LATEX(u_n)= LATEX(n/2)- 4 c) LATEX(u_n)= LATEX(5^n)
Bài 5
5. Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 45 cm, 43 cm, 41 cm, ..., 31 cm. a) Cái thang đó có bao nhiêu bậc? b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể.
Ảnh
Bài 6
6. Khi một vận động viên nhảy dù nhảy xa khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dủ lần lượt là: 16; 48; 80; 112; 144; ... (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng). a) Tính công sai của cấp số cộng trên. b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên.
Ảnh
Bài 7
7. Ở một loài thực vật lưỡng bội, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là A và B cùng quy định kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm 5 cm. Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene aabb có chiều cao 100cm. Hỏi cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao bao nhiêu?
V - Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
Ảnh
V - Dặn dò
- Làm hết bài tập phần IV - Bài tập - Đọc trước Bài 3: Cấp số nhân
Kết thúc
Ảnh