CHƯƠNG II. BÀI 2. CẤP SỐ CỘNG
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
CHƯƠNG II. BÀI 2. CẤP SỐ CỘNG
Khởi động
Tình huống mở đầu
Ảnh
Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất nằm ở độ cao 1 250 m so với mực nước biểu, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,2 m.
Ảnh
Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 10 có độ cao là bao nhiêu so với mực nước biển?
- Tình huống mở đầu:
I. Định nghĩa
- Hoạt động 1
I. Định nghĩa
Ảnh
HĐ1: Cho dãy số - 2; 3; 8; 13; 18; 23; 28. Kể từ số hạng thứ hai, nêu mối liên hệ của mỗi số hạng với số hạng đứng ngay trước nó.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là: latex(u_n = u_(n - 1) + d) với latex(n >= 2) Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
- Lưu ý
Ảnh
+ Nếu latex((u_n)) là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên latex(n>= 2) ta có: latex(u_n - u_(n - 1) = d) + Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.
- Lưu ý:
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng latex(u_n) với latex(u_1 = 9), công sai d = -2. Viết ba số hạng đầu của cấp số cộng đó.
Giải:
Ba số hạng đầu của cấp số cộng latex(u_n) là: latex(u_1 = 9; u_1 + d = 9 + (-2) = 7; u_3= u_2 + d = 7 + (-2) = 5)
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Cho latex((u_n)) là cấp số cộng với latex(u_1 = -7, u_2 = 2). Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng đó.
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp 1, 3, 5,... 2n - 1,... có cấp số cộng hay không? Vì sao?
Ảnh
Giải:
Dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp 1, 3, 5, ...., 2n - 1,... là cấp số cộng vì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 2. Công sai của cấp số cộng này là 2.
- Luyện tập 2
Ảnh
Cho dãy số latex(u_n) với latex(u_n = -5n + 7 (n >= 1)). Dãy latex((u_n)) có là cấp số cộng không? Vì sao?
- Luyện tập 2:
II. Số hạng tổng quát
- Hoạt động 2
Ảnh
II. Số hạng tổng quát
HĐ2: Cho cấp số cộng latex(u_n) có số hạng đầu latex(u_1), công sai d. a) Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng theo latex(u_1) và d. b) Dự đoán công thức tính latex(u_n) theo latex(u_1) và d.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Nếu cấp số cộng latex(u_n) có số hạng đầu latex(u_1) và công sai d thì số hạng tổng quát latex(u_n) được xác định bởi công thức: latex(u_n = u_1 + (n - 1)d) với latex(n>= 2).
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Với latex(d!=0), từ công thức latex(u_n = u_1 + (n - 1)d), ta có: latex(n = (u_n - u_1)/d + 1) với latex(n >= 2).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Cho cấp số cộng latex(u_n) với số hạng đầu latex(u_1 = 1/2, d= -1/2). a) Tính latex(u_20). b) Số -99 là số hạng thứ bao nhiêu của câos số cộng latex((u_n))?
a) Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ta có: latex(u_20 = u_1 + (20 - 1)d = 1/2 + 19.(-1/2) = -9) b) Giả sử -99 là số hạng thứ n của cấp số cộng. Ta có: latex(n = (u_n - u_1)/d +1 = (-99 - 1/2)/(-1/2) +1 = 200) Vậy số -99 là số hạng thứ 200 của cấp số cộng latex(u_n).
- Giải:
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Hãy giải bài toán trong phần tình huống mở đầu.
IIII. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
- Hoạt động 3
Ảnh
HĐ3: Cho cấp số cộng latex(u_n) có số hạng đầu latex(u_1), công sai d. a) So sánh các tổng sau: latex(u_1 + u_n; u_2 + u_(n -1); ...; u_n + u_1). b) Đặt latex(S_n = u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_n). So sánh latex(n(u_1 + u_n)) với latex(2S_n)).
IIII. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Cho cấp số cộng latex((u_n)) có số hạng đầu latex(u_1) và công sai d. Đặt latex(s_n = u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_n). Khi đó: latex(S_n = ((u_1 + u_n)n)/2)
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
latex(u_n = u_1 + (n - 1)d) nên latex(u_1 + u_n = 2u_1 + (n - 1)d) => latex(S_n = ([2u_1 + (n - 1)d]n)/2).
- Ví dụ 4
Giải:
Ảnh
Ta thấy dãy số 1, 5, 9, ..., 97 là cấp số cộng có số hạng đầu latex(u_1 = 1), số hạng cuối latex(u_n = 97), công sai d = 4. Vì thế, số các số hạng của cấp số cộng trên là: latex(n = (u_n - u_1)/d + 1 = (97 - 1)/4 + 1 = 25). Vậy latex(S = ((1 + 97) . 25)/2 = 1 225).
Ví dụ 4: Tính tổng: S = 1 + 5 + 9 + 13 + ... + 97.
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Một nhà thi đấu có 20 hàng ghế dành cho khán giả. Hàng thứ nhất có 20 ghế, hàng thứ hai có 21 ghế, hàng thứ ba có 22 ghế,... Cứ như thế, số ghế ở hàng sau nhiều hơn số ghế ở hàng trước 1 ghế. Trong một giải thi đấu, ban tổ chức đã bán được hết số vé phát ra và số tiền thu được từ bán vé là 70 800 000 đồng. Tính giá trị tiền của mỗi vé (đơn vị: đồng), biết số vé bán ra bằng số ghế dnafh cho khán giả của nhà thi đấu và các vé là đồng giá.
Ảnh
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số cộng sau: a) 3; 1; -1;... với n = 10; b) 1,2; 1,7; 2,2;... với n = 15.
Bài tập
Bài 1 (Bài tập)
Ảnh
Bài 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp cố cộng? Vì sao? a) 10; – 2; – 14; – 26; – 38; b) latex(1/2, 5/4, 2, 11/4, 7/2); c) latex(sqrt1; sqrt2; sqrt3; sqrt4; sqrt5); d) 1; 4; 7; 10; 13.
Bài 2 (Bài tập)
Ảnh
Bài 2: Trong các dãy số latex((u_n)) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu latex(u_1) và công sai d. a) latex(u_n = 3 - 2n); b) latex(u_n = (3n +7)/5); c) latex(u_n = 3^n).
Bài 3 (Bài tập)
Ảnh
Bài 3: Cho cấp số cộng latex((u_n)) có số hạng đầu latex(u_1 = – 3), công sai d = 5. a) Viết công thức của số hạng tổng quát latex((u_n)). b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên? c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không?
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương II. Bài 3. Cấp số nhân".
Dặn dò:
- Cảm ơn
Ảnh