CHƯƠNG VI: BÀI 3: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG VI: BÀI 3: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU
1. Số trung bình
Hoạt động khám phá
Điểm số bài kiểm tra toán của các bạn trong tổ 1 là 6; 10; 6; 8; 7; 10, còn của các bạn tổ 2 là 10; 6; 9; 9; 8; 9. Theo đó, tổ nào có kết quả kiểm tra tốt hơn? Tại sao? Giả sử ta có một mẫu số liệu là latex( x_1,x_2, ...,x_n). Số trung bình( hay số trung bình cộng) của mẫu số liệu này, kí hiệu là latex(bar(x)), được tính bởi công thức
Hình vẽ
latex(bar(x)) = latex(frac( x_1+x_2+...+x_n)n)
Hoạt động khám phá
Hình vẽ
Giá trị latex(x_1) latex(x_2) .... latex(x_k)
Tần số latex(n_1) latex(n_2) .... latex(n_k)
Khi đó, công thức tính số trung bình trở thành
Hình vẽ
latex(bar(x)) = latex(frac( n_1x_1+n_2x_2+...+n_kx_k)n)
trong đó n = latex(n_1+n_2+...+n_k). Ta gọi n là cỡ mẫu
Chú ý: Nếu kí hiệu latex(f_k=frac(n_k)n) là tần số tương đối (hay còn gọi là tần suất) của x_k trong mẫu số liệu thì số trung bình còn có thể biểu diễn là: latex(bar(x)) = latex(f_1x_1+f_2x_2+...+f_kx_k)
Ví dụ 1
Ảnh
Một cửa hàng bán xe đạp thống kê số xe bán được hằng tháng trong năm 2021 ở bảng sau:
a, Hãy tính số xe trung bình cửa hàng bán được mỗi tháng trong năm 2021. b, Hãy so sánh hiệu quả kinh doanh trong quý III của cửa hàng với 6 tháng đầu năm 2021.
Ví dụ 1
a, Số xe trung bình cửa hàng bán được mỗi tháng trong năm 2021 là: latex((10+8+7+5+8+22+28+25+20+10+9+7)/12) = 13,25 (xe). b, Số xe trung bình bán được trong 6 tháng đầu năm là: latex((10+8+7+5+8+22)/6) = 10 (xe). Số xe trung bình bán được trong quý III của năm là: latex((28+25+20)/3) = latex(73/3) latex(approx) 24,33 (xe). Như vậy hiệu quả kinh doanh của cửa hàng trong quý III cao hơn trong 6 tháng đầu năm.
Giải
Ý nghĩa của số trung bình
Ảnh
Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một số đo xu thế trung tâm của mẫu đó. Ví dụ như trong hoạt động trải nghiệm 1, vì điểm trung bình của các bạn Tổ 1 là 7,83 và của các bạn tổ 2 là 8,5 nên ta có thể cho rằng nói chung các bạn Tổ 2 học Toán tốt hơn các bạn Tổ 1.
Vận dụng 1
Thời gian chạy 100 mét (đơn vị : giây) của các bạn học sinh ở hai nhóm A và B được ghi lại ở bảng sau:
Ảnh
Nhóm nào có thành tích chạy tốt hơn?
Ta tính thời gian chạy trung bình của mỗi nhóm: + Thời gian chạy trung bình của nhóm A là: latex((12,2+13,5+12,7+13,1+12,5+12,9+13,2+12,8)/8) = 12,8625 (giây) + Thời gian chạy trung bình của nhóm B là: latex((12,1+13,4+13,2+12,9+13,7)/5) = 13,06 (giây) Vì 12,8625 < 13,06 nên thời gian chạy 100 mét trung bình của nhóm A ít hơn nhóm B. Nghĩa là thành tích chạy của nhóm A tốt hơn.
Vận dụng 2
Số bàn thắng mà một đội bóng ghi được ở mỗi trận đấu trong một mùa giải được thống kê lại ở bảng sau:
Ảnh
Hãy xác định số bàn thắng trung bình đội đó ghi được trong một trận đấu của mùa giải.
Bảng số liệu trên được cho dưới dạng bảng tần số. Số trận đấu trong toàn mùa giải hay chính là cỡ mẫu là: n = 5 + 10 + 5 + 3 + 2 + 1 = 26 (trận) Số bàn thắng trung bình của đội đó ghi được trong một trận đấu của mùa giải là: latex(barx) = latex((5.0+10.1+5.2+3.3+2.4+1.6)/26) latex(approx) 1,65
2. Trung vị và tứ phân vị
Hoạt động khám phá 2
Bảng sau thống kê số sách mỗi bạn học sinh Tổ 1 và Tổ 2 đã đọc ở thư viện trường trong một tháng:
Ảnh
a, Trung bình mỗi bạn Tổ 1 và mỗi bạn Tổ 2 đọc bao nhiêu quyển sách ở thư viện trường trong tháng đó? b, Em hãy thảo luận với các bạn trong nhóm xem tổ nào chăm đọc sách ở thư viện hơn.
Giải a
a, Trung bình mỗi bạn Tổ 1 đọc số quyển sách ở thư viện trong tháng trên là: latex((3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 3 + 25 + 1)/9) = latex(40/9) latex(approx) 4,4 Trung bình mỗi bạn Tổ 2 đọc số quyển sổ ở thư viện trong tháng trên là: latex((4 + 5 + 4 + 3 + 3 + 4 + 5 + 4)/8) = latex(32/8) = 4.
Giải b
b) Vì 4,4 > 4 nên theo số trung bình, các bạn Tổ 1 đọc sách chăm hơn. Nếu dựa vào số trung bình để đánh giá xem tổ nào chăm đọc sách hơn trong bài này thì không phù hợp, do có một số liệu trong mẫu số liệu của Tổ 1 quá lớn so với các số liệu còn lại. Ta sử dụng trung vị để so sánh độ chăm học giữa hai tổ. + Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm của Tổ 1: 1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 25 Vì cỡ mẫu latex(n_1) = 9 là số lẻ, nên trung vị của mẫu số liệu Tổ 1 là latex(M_e1) = 2. + Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm của Tổ 2: 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5 Vì cỡ mẫu latex(n_2) = 8 là số chẵn, nên trung vị của mẫu số liệu Tổ 2 là: latex(M_e2) = latex((4+4)/2) = 4. Do đó ta có: latex(M_e2) > latex(M_e1). Vậy theo trung vị, các bạn Tổ 2 chăm đọc sách ở thư viện hơn Tổ 1.
Kiến thức trọng tâm
Ảnh
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: latex(x_1lex_2le...lex_n) Trung vị của mẫu, kí hiệu là latex(M_e), là giá trị ở chính giữa dãy latex(x_1,x_2,...,x_n). Cụ thể: Nếu n = 2k +1, k latex(in) N, thì trung vị của mẫu latex(M_e) = latex(x_(k+1)). Nếu n = 2k, k latex(in) N, thì trung vị của mẫu latex(M_e) = latex(1/2)latex(x_k+x_(k+1))
Ý nghĩa của trung vị
Ảnh
Trung vị được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu. Trung vị là giá trị nằm ở chính giữa của mẫu số liệu theo nghĩa: luôn có ít nhất 50% số liệu trong mẫu lớn hơn hoặc bằng trung vị và ít nhất 50% số liệu trong mẫu nhỏ hơn hoặc bằng trung vị. Khi trong mẫu xuất hiện thêm một giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ thì số trung bình sẽ bị thay đổi đáng kể nhưng trung vị thì ít thay đổi.
Thực hành 1
Hãy tìm trung vị của các số liệu ở vận dụng 1 và vận dụng 2.
+ Vận dụng 1: - Sắp xếp các số liệu ở nhóm A theo thứ tự không giảm: 12,2; 12,5; 12,7; 12,8; 12,9; 13,1; 13,2; 13,5 Vì cỡ mẫu của mẫu số liệu là 8 là số chẵn nên trung vị của mẫu số liệu này là: latex(M_(eA)) = latex(1/2)(12,8 + 12,9) = 12,85 - Sắp xếp các số liệu ở nhóm B theo thứ tự không giảm: 12,1; 12,9; 13,2; 13,4; 13,7 Vì cỡ mẫu của mẫu số liệu là 5 là số lẻ nên trung vị của mẫu số liệu này là: latex(M_(eB)) = 13,2. + Vận dụng 2: Sắp xếp các số liệu của mẫu theo thứ tự không giảm: 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 6. Vì cỡ mẫu là 26 là số chẵn nên trung vị của mẫu số liệu là: latex(M_e) = latex(1/2)(1 + 1) =1
Hoạt động trải nghiệm 3
Cân nặng của 20 vận động viên môn vật của một câu lạc bộ được ghi lại ở bảng sau:
Ảnh
Để thuận tiện cho việc luyện tập, ban huấn luyện muốn xếp 20 vận động viên trên thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm 25% số vận động viện có cân nặng gần nhau. Bạn hãy giúp ban huấn luyện xác định các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên.
Giải
Các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên là tứ phân vị của mẫu số liệu trên. Ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58; 59; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69. + Vì cỡ mẫu là 20, là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là latex(Q_2) = latex(1/2)(58 + 59) = 58,5. + Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58. Do đó, latex(Q_1) = latex(1/2)(54 + 56) = 55. + Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69. Do đó, latex(Q_3) = latex(1/2)(64 + 65) = 64,5. Vậy các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên là: 55 kg; 58,5 kg; 64,5 kg.
Kiến thức trọng tâm
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: latex(x_1lex_2le...ex_n). Tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu gồm ba giá trị, gọi là tứ phân vị thứ nhất, thứ hai và thứ ba (lần lượt kí hiệu là latex(Q_1),latex(Q_2), latex(Q_3)). Ba giá trị này chia tập hợp dữ liệu đã sắp xếp thành bốn phần đều nhau. Cụ thể: Giá trị tứ phân vị thứ hai, latex(Q_2), chính là số trung vị của mẫu. Giá trị tứ phân vị thứ nhất, latex(Q_1), là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái latex(Q_2) (không bao gồm latex(Q_2) nếu n lẻ). Giá trị tứ phân vị thứ ba, latex(Q_3), là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải latex(Q_2) ( không bao gồm latex(Q_2) nếu n lẻ).
Ý nghĩa của tứ phân vị
Các điểm tứ phân vị latex(Q_1), latex(Q_2), latex(Q_3) chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành bốn phần, mỗi phần chứa khoảng 25% tổng số số liệu đã thu nhập được. Tứ phân vị thứ nhất latex(Q_1) còn được gọi là tứ phân vị dưới và đại diện cho nửa mẫu số liệu phía dưới. Tứ phân vị thứ ba latex(Q_3) còn được gọi là tứ phân vị trên và đại diện cho nửa mẫu số liệu phía trên.
Ảnh
Thực hành 2
Hãy tìm tứ phân vị của các mẫu số liệu sau: a) 10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7. b) 15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15.
a) Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19. + Vì cỡ mẫu là n = 9, là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là latex(Q_2) = 10. + Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 2; 5; 7. Do đó, latex(Q_1) = latex(1/2)(2 + 5) = 3,5. + Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 13; 15; 19.Do đó, latex(Q_3) = latex(1/2)(13 + 15) = 14. b) Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19. + Vì cỡ mẫu là n = 10, là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: latex(Q_2) = latex(1/2)(9 + 10) = 9,5 + Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 5; 5; 9. Do đó,latex(Q_1) = 5. + Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 10; 15; 15; 19. Do đó, latex(Q_3) = 15.
3. Mốt
Hoạt động trải nghiệm 4
Một cửa hàng kinh doanh hoa thống kê số hoa hồng bán được trong ngày 14 tháng 2 theo loại hoa và thu được bảng tần số sau:
Ảnh
Cửa hàng nên nhập loại hoa hồng nào nhiều nhất để bán trong ngày 14 tháng 2 năm tiếp theo? Tại sao?
Giải
Quan sát bảng tần số, ta thấy loại hoa hồng nhung có tần số lớn nhất (230), nghĩa là số bông hoa hồng loại này bán được nhiều nhất trong ngày 14 tháng 2. Do vậy, cửa hàng nên nhập loại hoa hồng nhung nhiều nhất để bán trong ngày 14 tháng 2 năm tiếp theo.
Kiến thức trọng tâm
Ảnh
Cho một mẫu số liệu dưới dạng bảng tần số. Giá trị có tần số lớn nhất được gọi là mốt của mẫu số liệu và kí hiệu là latex(M_o).
Ý nghĩa của mốt
Ảnh
Mốt đặc trưng cho giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu. Chú ý: Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt. Khi tất cả các giá trị trong mẫu số liệu có tần số xuất hiện bằng nhau thì mẫu số liệu đó không có mốt.
Thực hành 3
Hãy tìm mốt của số liệu điểm kiểm tra của các bạn Tổ 1 trong Hoạt động khám phá 1.
Điểm số bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong Tổ 1 là 6; 10; 6; 8; 7; 10. Điểm 6 có tần số là 2. Điểm 7 có tần số là 1. Điểm 8 có tần số là 1. Điểm 10 có tần số là 2. Vậy điểm 6 và điểm 10 có tần số lớn nhất, do đó mốt của mẫu số liệu này là 6 và 10.
Kết thúc
Ảnh