BÀI 9: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
BÀI 9: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM
Khởi động
Khởi động
Ảnh
- Khởi động:
Một cửa hàng đã ghi lại số tiền bán xăng cho 35 khách hàng đi xe máy. Mẫu số liệu gốc có dạng: latex(x_1, x_2, ..., x_35) trong đó latex(x_i) là số tiền bán xăng cho khách hàng thứ i. Vì một lí do nào đó, cửa hàng chỉ có mẫu số liệu ghép nhóm dạng sau:
Dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm này, làm thế nào để ước lượng các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt) cho mẫu số liệu gốc?
Ảnh
Hình thàn kiến thức
1. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
Ảnh
1. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
HĐ1: Khảo sát thời gian tự học của các học sinh trong lớp theo mẫu bên:
a) Hãy lập bảng thống kê cho mẫu số liệu ghép nhóm thu được. b) Có thể tính chính xác thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp không? c) Có cách nào tính gần đúng thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm này không?
- Giải (- Hoạt động 1)
- Giải:
a) Giả sử lớp 11A có 30 học sinh và sau khi khảo sát, ta có được bảng thống kê như sau:
Ảnh
b) Ta không thể tính chính xác thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp vì không có mẫu số liệu cụ thể về thời gian tự học của từng học sinh.
Ảnh
+ ý c (- Hoạt động 1)
Ảnh
c) Thời gian tự học dưới 1,5 giờ, ta chọn giá trị đại diện là 0,75 giờ, tần số tương ứng là 5. * Thời gian tự học từ 1,5 đến dưới 3 giờ, ta chọn giá trị đại diện là latex((1,5 + 3)/2) = 2,25a tần số tương ứng là 15. * Thời gian tự học từ 3 đến dưới 4,5 giờ, ta chọn giá trị đại diện là latex((3 + 4,5)/2) = 3,75a tần số tương ứng là 8. * Thời gian tự học là từ 4,5 giờ trở lên, ta chọn giá trị đại diện là 5,25, tần số tương ứng là 2. Số trung bình là latex(barx = (5.0,75 + 15.2,25 + 8.3,75 + 2.5,25)/30 = 2,6) Vậy thời gian tự học trung bình của học sinh lớp 11A xấp xỉ khoảng 2,6 giờ.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là latex(barx). latex(barx = (m_1x_1 + ... + m_kx_k)/n) trong đó latex(n = m_1 + ... + m_k) là cỡ mẫu và latex(x_i = (a_i + a_(i + 1))/2) (với i = 1, ..., k) là giá trị đại diện của nhóm latex([a_i; a_(i + k))).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Đối với số liệu rời rạc, người ta thường cho các nhóm dưới dạng latex(k_1 - k_2 (k_1,k_2 in N)). Nhóm latex(k_1 - k_2) là nhóm gồm các giá trị latex(k_1; k_1 + 1; ...; k_2). Khi đó, ta cần hiệu chỉnh mẫu dữ liệu ghép nhóm để đưa về dạng bảng 3.2 trước khi thực hiện tính toán các số đặc trưng bằng hiệu chỉnh nhóm latex(k_1 - k_2 (k_1, k_2 in N)) thành nhóm latex([k_1 - 0,5; k_2 + 0,5)). Chẳng hạn với dữ liệu ghé nhóm điểm thi môn Toán bảng 3.3 sau khi hiệu chỉnh ta được bảng 3.4.
Ảnh
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Tìm cân nặng trung bình của HS lớp 11D cho bảng 3.5
Ảnh
Ảnh
Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:
Giải:
Tổng số học sinh n = 42. Cân nặng trung bình của HS lớp 11D là: latex(barx = (10 .43 + 7 . 48 + 16 . 53 + 4 . 58 + 2 . 63 + 3 . 68)/42 ~~ 51,81) (kg)
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Tìm hiểu thời gian xem ti vi trong tuần trước (đơn vị: giờ) của một số học sinh thu được kết quả sau:
Ảnh
Tính thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các bạn học sinh này.
Ảnh
- Ý nghĩa
Ảnh
- Ý nghĩa:
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu.
2. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Ảnh
Ảnh
2. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
HĐ2: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 21 câu na giống.
Gọi latex(x_1, x_2, ..., x_21) là chiều cao của các cây giống, đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, latex(x_1, ..., x_3) thuộc [0; 5), latex(x_4, ..., x_11) thuộc [5; 10), ... Hỏi trung vị thuộc nhóm nào?
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện: Bước 1: Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p: latex([a_p; a_(p+1))). Bước 2: Trung vị là latex(M_e = a_p + (n/2 - (m_1 +...+ m_(p - 1)))/(m_p) . (a_(p + 1) - a_p)), trong đó n là cỡ mẫu, latex(m_p) là tần số nhóm p. Với p = 1, ta quy ước latex(m_1 + ... + m_(p -1) = 0).
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho bảng sau:
Giải:
Cỡ mẫu là n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56. Gọi latex(x_1, ..., x_56) là thời gian vào Internet của 56 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứu tự tăng dần. Khi đó, trung vị là latex((X_28 + x_29)/2). Do 2 giá trị latex(X_28, X_29) thuộc nhóm [15,5; 18,5) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, p = 3; latex(a_3 = 15,5; m_3 = 15; m_1 + m_2 = 3 + 12 = 15; a_4 - a_3 = 3), ta có: latex(M_e = 15,5 + (56/2 - 15)/15 . 3 = 18,1).
Ảnh
Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Ảnh
Ghi lại tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng của một vận động viên môn quần vợt cho kết quả như bảng bên.
Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.
- Ý nghĩa
Ảnh
- Ý nghĩa:
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vụ của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị.
3. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
3. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Ảnh
HĐ3: Với mẫu số liệu ghép nhóm cho trong HĐ2, hãy cho biết tứ phân vị thứ nhất latex(Q_1) và tứ phân vị thứ ba latex(Q_3) thuộc nhóm nào.
- Kết luận 1
Ảnh
- Kết luận:
Để tính tứ phân vị thứ nhất latex(Q_1) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước ht ta xác định nhóm latex(Q_1), giả sử đó là nhóm thứ p: latex([a_p; a_(p+1))). Khi đó: latex(Q_1 = a_p + (n/4 - (m_1 + ... + m_(p - 1)))/(m_p) . (a_(p + 1) - a_p)) trong đó, n là cỡ mẫu, latex(m_p) là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước latex(m_1 + ... + m_(p - 1) = 0)
- Kết luận 2
Ảnh
- Kết luận:
Để tính tứ phân vị thứ ba latex(Q_3) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa latex(Q_3). Giả sử đó là nhóm thứ latex(p : [a_p; a_(p + 1))). Khi đó: latex(Q_3 = a_p + ((3n)/4 - (m_1 + ... + m_(p-1)))/(m_p) . (a_(p+1) - a_p)), trong đó, n là cỡ mẫu, latex(m_p) là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước latex(m_1 + ... + m_(p -1) = 0). Tứ phân vị thứ hai latex(Q_2) chính là trung vị latex(M_e).
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Tìm tứ phân vị thứ nhất latex(Q_1) và tứ phân vị thứ ba latex(Q_3) của mẫu số liệu ghép nhóm trong ví dụ 2.
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba cho mẫu số liệu ghép nhóm ở Luyện tập 2.
- Ý nghĩa
Ảnh
- Ý nghĩa:
Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các tứ phân vị của mẫu số liệu gốc, chúng chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị.
4. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
4. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
Ảnh
HĐ4: Với số liệu cho trong Luyện tập 1: a) Có thể tìm được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh không? b) Mốt thuộc nhóm nào là hợp lí nhất? Nên lấy số nào trong nhóm để ước lượng được cho mốt?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau: B1: Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: latex([a_j; a_(j +1))). B2: Mốt được xác định là: latex(M_0 = a_j + (m_j - m_(j - 1))/((m_j - m_(j - 1)) + (m_j - m_(j + 1))). h) trong đó latex(m_j) là tần số của nhóm j (quy ước latex(m_0 = m_(k +1) = 0) và h là độ dài của nhóm.
- Lưu ý
Ảnh
- Lưu ý:
Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau. Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm) của 50 học sinh lớp 11A.
Tần số lớn nhất là 14 nên nhóm chứa mốt là nhóm [150; 155). Ta có, j = 2, latex(a_2 = 150, m_2 = 14, m_1 = 7, m_3 = 10, h = 5). Do đó: latex(M_0 = 150 + (14 - 7)/((14-7) + (14 - 10)) . 5 ~~ 153,18) Số học sinh có chiều cao khoảng 153,18 cm là nhiều nhất.
Giải:
Tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này. Có thể kết luận gì từ giá trị tính được?
Ảnh
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành một câu hỏi thi được cho như sau:
Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này.
Ảnh
- Ý nghĩa
Ảnh
- Ý nghĩa:
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc, nó được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.
- Vận dụng
Ảnh
- Vận dụng:
Hãy tính các số đặc trưng cho mẫu số liệu trong Bảng 3.1 và giải thích ý nghĩa của các giá trị thu được.
Luyện tập và vận dụng
Bài 1 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Bài 1: Quãng đường (km) đi từ nhà đến nơi làm việc của 40 công nhân một nhà máy được ghi lại như sau:
Ảnh
a) Ghép nhóm dãy số liệu trên thành các khoảng có độ rộng bằng nhau, khoảng đầu tiên là [0; 5). Tìm giá trị đại diện cho mỗi nhóm. b) Tính số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào chính xác hơn? c) Xác định nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm thu được.
Bài 2 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Bài 2: Điểm thi môn Toán (thang điểm 100, điểm được làm tròn đến 1) của 60 thí sinh được cho trong bảng sau:
a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2. b) Tìm các tứ phân vị và giải thích ý nghĩa của chúng.
Ảnh
Bài 3 (Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Bài 3: Tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy ô tô được cho như sau:
a) Xác định mốt và giải thích ý nghĩa. b) Tính tuổi thọ trung bình của 50 bình ắc quy ô tô này.
Ảnh
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC !