Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG VI : BÀI 4: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CỦA MẪU SỐ LIỆU
1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị
Hoạt động khám phá 1
Ảnh
Thời gian hoàn thành bài chạy 5km (tính theo phút) của hai nhóm thành viên được cho ở bảng sau:
Ảnh
a, Hãy tính độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong từng nhóm. b, Nhóm nào có thành tích chạy đồng đều hơn?
Kiến thức trọng tâm
Ảnh
Ảnh
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: latex(x_1)latex(le)Latex(x_2)latex(le)...Latex(le)latex(x_n). - Khoảng biến thiên của một mẫu số liệu, kí hiệu là R, là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó, tức là: R = latex(x_n) - latex(x_1). - Khoảng tử phân vị, kí hiệu là latex(∆_Q), là hiệu giữa latex(Q_3) và latex(Q_1), tức là: latex(∆_Q) = latex(Q_3) - latex(Q_1).
Kết luận
Ảnh
Trong hoạt động khám phá 1, độ chênh lệch giữa kết quả cao nhất và kết quả thấp nhất chính là khoảng biến thiên của kết quả các lần chạy của từng nhóm.
Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1
Hãy tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu: 10; 20; 3; 1; 3; 4; 7; 4; 9.
Giải Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là: 1; 3; 3; 4; 4; 7; 9; 10; 20. - Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 20 - 1 = 19. - Cỡ mẫu là n = 9 là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: latex(Q_2) = 4. - Tứ phân vị thứ nhât là trung vị của mẫu: 1; 3; 3; 4. Do đó latex(Q_1) = 3. -Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 7; 9; 10; 20. Do đó latex(Q_3) = 9,5. - Khoảng tứ phân vị của mẫu là: latex(∆_Q) = 9,5 - 3 = 6,5.
Ảnh
Ảnh
Ý nghĩa
Ảnh
Ý nghĩa của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị Khoảng biến thiên đặc trưng cho độ phân tán của toàn bộ mẫu số liệu. Khoảng tứ phân vị đặc trưng cho độ phân tán của một nửa các số liệu, có giá trị thuộc đoạn từ latex(Q_1) đến latex(Q_3) trong mẫu. Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị lớn hoặc rất bé trong mẫu.
Thực hành 1
Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau: a, 10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7. b, 15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15.
Giải a, Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19. + Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 19 – 2 = 17. + Cỡ mẫu là n = 9 là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: latex(Q_2) = 10. + Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 2; 5; 7. Do đó latex(Q_1) = 3,5. + Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 13; 15; 19. Do đó latex(Q_3) = 14. + Khoảng tứ phân vị của mẫu là: latex(∆_Q) = 14 – 3,5 = 10,5.
Thực hành 1
b, 15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15.
Giải
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19. + Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 19 – 1 = 18. + Cỡ mẫu là n = 10 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: latex(Q_2) = latex(1/2) (9 + 10) = 9,5. + Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 5; 5; 9. Do đó latex(Q_1) = 5. + Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 10; 15; 15; 19. Do đó latex(Q_3) = 15. + Khoảng tứ phân vị của mẫu là: latex(∆_Q) = 15 – 5 = 10.
Vận dụng 1
Dưới đây là bảng số liệu thống kê của Biểu đồ nhiệt độ trung bình (đơn vị: độ C) các tháng trong năm 2019 của hai tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng (được đề cập đến ở hoạt động khởi động của bài học).
Ảnh
a, Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai châu và Lâm Đồng. b, Hãy cho biết trong một năm, nhiệt độ ở địa phương nào ít thay đổi hơn.
Vận dụng a
a, - Tỉnh Lai Châu: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0; 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7. + Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 24,7 – 14,2 = 10,5. + Cỡ mẫu là n = 12 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: latex(Q_2) = latex(1/2)(21,0 + 22,7) = 21,85. + Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0. Do đó latex(Q_1) = latex(1/2)(18,6 + 18,8) = 18,7. + Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7. Do đó latex(Q_3) = latex(1/2) (23,6 + 24,2) = 23,9. + Khoảng tứ phân vị của mẫu là: latex(∆_Q) = 23,9 – 18,7 = 5,2.
Vận dụng a
a, - Tỉnh Lâm Đồng: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6; 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3. + Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là : R' = 20,3 – 16,0 = 4,3. + Cỡ mẫu là n = 12 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: latex((Q^,)_2) = latex(1/2)(18,6 + 18,7) = 18,65. + Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6. Do đó latex((Q^,)_1) = latex(1/2) (17,4 + 17,5) = 17,45. + Tứ phân vị thứ ba là trung vị vủa mẫu: 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3. Do đó latex((Q^,)_3) = latex(1/2) (19,5 + 19,8) = 19,65.) + Khoảng tứ phân vị của mẫu là: latex( (∆^,)_Q) = 19,65 - 17,45 = 2,2.
Vận dụng b
b, Xét về cả khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của cả hai tỉnh,ta thấy: 10,5 > 4,3 hay R > R' và 5,2 > 2,2 hay latex(∆_Q) > latex((∆^,)_Q). Điều đó có nghĩa là trong một năm, nhiệt độ ở Lâm Đồng ít thay đổi hơn.
Giá trị ngoại lệ
Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định các giá trị ngoại lệ trong mẫu,đó là các giá trị quá nhỏ hay quá lớn so với đa số các giá trị của mẫu. Cụ thể, phần tử x trong mẫu là giá trị ngoại lệ nếu x > latex(Q_3) + 1,5 latex(∆_Q) hoặc x < latex(Q_1) - 1,5latex(∆_Q). Trong ví dụ 1, latex(Q_3) + 1,5latex(∆_Q) = 9,5 + 1,5 . 6,5 = 19,25 và latex(Q_1) - 1,5latex(∆_Q) = 3 - 1,5 . 6,5 = -6,75 nên mẫu có một giá trị ngoại lệ là 20. Sự xuất hiện của các giá trị ngoại lệ làm cho số trung bình và phạm vi của mẫu thay đổi lớn. Do đó, khi mẫu có giá trị ngoại lệ, người ta thường sử dụng trung vị và khoảng tứ phân vị để đo mức độ tập trung và mức độ phân tán của đa số các phần tử trong mẫu số liệu.
Thực hành 2
Hãy tìm giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu: 37; 12; 3; 9; 10; 9; 12; 3; 10.
Giải Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 3; 3; 9; 9; 10; 10; 12; 12; 37. + Vì cỡ mẫu là n = 9 lá số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là latex(Q_2) = 10. + Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 3; 3; 9; 9. Do đó latex(Q_1) = 6. + Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 12; 12; 37. Do đó latex(Q_3) = 12 + Khoảng tứ phân vị của mẫu là: latex(∆_Q) = 12 – 6 = 6. Ta có: latex(Q_3) + 1,5latex(∆_Q) = 12 + 1,5 . 6 = 21 và latex(Q_1) – 1,5latex(∆_Q) = 6 – 1,5 . 6 = – 3. Do đó mẫu có một giá trị ngoại lệ là 37.
2. Phương sai và độ lệch chuẩn
Hoạt động khám phá 2
Hai cung thủ A và B đã ghi lại kết quả từng lần bắn của mình ở bảng sau:
Ảnh
a, Tính kết quả trung bình của mỗi cung thủ trên. b, Cung thủ nào có kết quả các lần bắn ổn định hơn?
Giải a, Kết quả trung bình của cung thủ A là: latex((8+9+10+7+6+10+6+7+9+8)/10) = 8. Kết quả trung bình của cung thủ B là: latex((10+6+8+7+9+9+8+7+8+8)/10) = 8
Hoạt động khám phá 2 b
b, Cung thủ A: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 6; 6; 7; 7; 8; 8; 9; 9; 10; 10. + Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: latex(R_A) = 10 – 6 = 4. + Cỡ mẫu là n = 10 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: latex(Q_2A) = latex(1/2)(8 + 8) = 8. + Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 6; 6; 7; 7; 8. Do đó latex(Q_1A) = 7. + Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 8; 9; 9; 10; 10. Do đó latex(Q_3A) = 9. + Khoảng tứ phân vị của mẫu là: latex(∆_QA) = 9 – 7 = 2.
Hoạt động khám phá 2 b
b, Cung thủ B: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 6; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 10. + Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: latex(R_B) = 10 – 6 = 4. + Cỡ mẫu là n = 10 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: latex(Q_2B) = latex(1/2)(8 + 8) = 8. + Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 6; 7; 7; 8; 8. Do đó latex(Q_1B) = 7. + Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 8; 8; 9; 9; 10. Do đó latex(Q_3B) = 9. + Khoảng tứ phân vị của mẫu là: latex(∆_QB) = 9 – 7 = 2. Từ đó, ta thấy kết quả các lần bắn của hai cung thủ có cùng giá trị trung bình, khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị nên ta dự đoán cả hai cung thủ bắn ổn định như nhau.
Kiến thức trọng tâm
Ảnh
Giả sử ta có một mẫu số liệu là latex(x_1), latex(x_2), ..., latex(x_n). Phương sai của mẫu số liệu này, kid hiệu là latex(S^2), được tính bởi công thức: latex(S^2) = latex(1/n)[latex((x_1 - barx)^2 + (x_2 - barx)^2 + ... + (x_n - barx)^2)] trong đó latex(barx) là số trung bình của mẫu số liệu. Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn Kí hiệu là S.
Chú ý
Ảnh
Có thể biến đổi công thức tính phương sai ở trên thành: latex(S^2)= latex(1/n)(latex(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)) - latex(barx^2) Trong thống kê, người ta cũng quan tâm đến phương sai hiệu chỉnh,kí hiệu là latex(hats^2), được tính bởi công thức: latex(hats^2) = latex(1/(n-1))[latex((x_1 - barx)^2 + (x_2 - barx)^2 + ... + (x_n - barx)^2)]
Chú ý:
Ý nghĩa
Phương sai là trung bình cộng của các bình phương độ lệch từ mỗi giá trị của mẫu số liệu đến số trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn được dùng để đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì các giá trị của mẫu càng cách xa nhau (có độ phân tán lớn).Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số:
Ảnh
Khi đó, công thức tính phương sai trở thành: latex(S^2) = latex(1/n)[latex(n_1(x_1 - barx)^2 + n_2(x_2 - barx)^2 + ... + n_k(x_k - barx)^2)], trong đó n = latex(n_1) + latex(n_2) + ... + latex(n_k) Có thể biến đổi công thức tính phương sai trên thành: latex(S^2)= latex(1/n)(latex(n_1x_1^2+n_2x_2^2+...+n_kx_k^2)) - latex(barx^2)
Vận dụng 2
Bảng dưới đây thống kê tổng số giờ nắng trong năm 2019 theo từng tháng được đo bởi hai trạm quan sát khí tượng đặt ở Tuyên Quang và Cà Mau.
Ảnh
a, Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của dữ liệu từng tỉnh. b, Nêu nhận xét về sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng ở mỗi tỉnh.
Vận dụng 2 a
a, Tỉnh Tuyên Quang: + Số trung bình: latex(barx_1) = latex((25+89+72+117+106+117+156+203+227+146+117+145)/12) latex(approx) 131,67 + Phương sai mẫu số liệu ở tỉnh Tuyên Quang là: latex(S^2) = latex((25^2+89^2+72^2+117^2+106^2+177^2+156^2+203^2+227^2+146^2+117^2+145^2)/12) - latex((131,67)^2) latex(approx) 2920,34. + Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở tỉnh Tuyên Quang là: latex(S_1) = latex(sqrt(S_1^2)) = latex(sqrt(2920,34)) latex(approx) 54,04.
Vận dụng 2 a
a, Tỉnh Cà Mau: + Số trung bình: latex(barx_2) = latex((180+223+257+245+191+111+141+134+130+122+157+173)/12) = 172 + Phương sai mẫu số liệu ở tỉnh Cà Mau là: latex(S_2^2) = latex((180^2+223^2+257^2+245^2+191^2+111^2+141^2+134^2+130^2+122^2+157^2+173^2)/12) - latex((172)^2) = 2183. + Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở tỉnh Cà Mau là: latex(S_2) = latex(sqrt(S_2^2)) = latex(sqrt(2183)) latex(approx) 46,72. b) Phương sai mẫu và độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở tỉnh Tuyên Quang cao hơn tỉnh Cà Mau nên tổng số giờ nắng trong năm 2019 theo từng tháng ở tỉnh Tuyên Quang có độ phân tán cao hơn ở tỉnh Cà Mau. Do đó, sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng ở tỉnh Cà Mau ổn định (có ít sự thay đổi) hơn so với tỉnh Tuyên Quang.
Kết thúc
Ảnh