BÀI 32: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11:
BÀI 32: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Khởi động:
Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu latex(v_0) = 20 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao h so với mặt đất (m) của vật tại thời điểm t (giây) sau khi ném được cho bởi công thức sau: latex(h = v_0 t - 1/2gt^2), trong đó, latex(v_0) là vận tốc ban đầu của vật, g = 9,8 m/latex(s^2) là gia tốc rơi tự do. Hãy tính vận tốc của vật khi nó đạt độ cao cực đại và khi nó chạm đất.
1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
a. Đạo hàm của hàm số y = latex(x^n (n in N))*
1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
HĐ1: Nhận biết đạo hàm của hàm số y = latex(x^n). a) Tính đạo hàm của hàm số y = latex(x^3) tại điểm x bất kì. b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số latex(y = x^n (n ∈ N**)).
Ảnh
a. Đạo hàm của hàm số y = latex(x^n (n in N**))
+ Gợi ý (- HĐ1)
Ảnh
- Gợi ý:
a) Đặt y = f(x) = latex(x^3). Với latex(x_0) bất kì, ta có: y = f'(latex(x_0)) = lim latex((f(x) - f(x_0))/(x - x_0)) = lim latex((x^3 - x_0^3)/(x - x_0)) = lim latex(((x - x_0)(x^2 + xx_0 + x_0^2))/(x - x_0)) = lim latex(x^2 + xx_0 + x_0^2 = 3x_0^2) Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là y' = 3x. b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = latex(x^n) (n ∈ N*) là y' = latex(nx^(n – 1)).
latex(x -> x_0)
latex(x -> x_0)
latex(x -> x_0)
latex(x -> x_0)
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Hàm số y = latex(x^n (n in N**)) có đạo hàm trên R và latex((x^n))' = latex(nx^(n - 1)).
b. Đạo hàm của hàm số y = latex(sqrtx)
Ảnh
HĐ2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số LATEX(y = sqrtx) tại điểm x > 0.
b. Đạo hàm của hàm số y = latex(sqrtx)
+ Gợi ý (- HĐ2)
Ảnh
- Gợi ý:
Đặt f(x) = y = latex(sqrtx). Với latex(x_0 > 0), ta có: y' = f'latex((x_0)) = lim latex((f(x) - f(x_0))/(x - x_0)) = lim latex((sqrtx - sqrtx(x_0))/(x - x_0)) = lim latex((sqrtx - sqrt(x_0))/((sqrtx - sqrt(x_0))(sqrtx + sqrt(x_0)))) = lim latex(1/(sqrtx + sqrt(x_0)) = 1/(2sqrt(x_0))). Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là y' = latex(1/(2sqrtx)).
latex(x -> x_0)
latex(x -> x_0)
latex(x -> x_0)
latex(x -> x_0)
latex(x -> x_0)
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Hàm số latex(y = sqrtx) có đạo hàm trên khoảng latex((0; +oo)) và latex((sqrtx))' = latex(1/(2sqrtx)).
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = latex(sqrtx) tại các điểm x = 4 và latex(x = 1/4).
- Giải:
Ảnh
Với mọi latex(x in (0; +oo)), ta có y' = latex(1/(2sqrtx)). Do đó y'(4) = latex(1/(2sqrt4) = 1/4) và y'latex((1/4) = 1/(2sqrt(1/4)) = 1).
2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
- HĐ3
2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
HĐ3: Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = LATEX(x^3 + x^2) tại điểm x bất kì. b) So sánh: latex((x^3 + x^2))' và latex((x^3))' + latex((x^2))'.
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Giả sử các h/s u = u(x), v = v(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Khi đó: (u + v)' = u' + v'; (u - v)' = u' - v'; (uv)' = u'v + uv'; latex((u/v))' = latex((uv -uv)/(v^2) (v = v(x) != 0))).
'
'
- Chú ý
Ảnh
* Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu có thể áp dụng cho tổng, hiệu của hai hay nhiều hàm số. * Với k là một hằng số, ta có: (ku)' = ku. * Đạo hàm của hàm số nghịch đảo: latex((1/v))' = latex(v/(v^2) (v = v(x) != 0)).
- Chú ý:
'
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) latex(y = 1/3x^3 - x^2 + 2x + 1); b) latex(y = (2x + 1)/(x - 1)).
- Gợi ý (- Ví dụ 2)
Ảnh
- Gợi ý:
a) Ta có: y' = latex(1/3(x^3))' - latex((x^2))' + 2(x)' + 1' = latex(1/3 . 3x^2 - 2x + 2) = latex(x^2 - 2x + 2). b) Với mọi latex(x != 1), ta có: y' = latex(((2x + 1)(x - 1) - (2x + 1)(x - 1))/((x - 1)^2)) = latex((2(x - 1) - (2x + 1))/((x - 1)^2) = 3/((x - 1)^2)).
latex(x -> x_0)
'
'
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Ảnh
Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = latex((sqrtx)/(x + 1)); b) y = latex((sqrtx + 1)(x^2 + 2)).
3. Đạo hàm của hàm số hợp
a. Khái niệm hàm số hợp
Ảnh
3. Đạo hàm của hàm số hợp
a. Khái niệm hàm số hợp
Diện tích của một chiếc đĩa kim loại hình tròn bán kính r được cho bởi S = latex(pi r^2). Bán kính r thay đổi theo nhiệt độ t của chiếc đĩa, tức là r = r(t). Khi đó, diện tích của chiếc đĩa phụ thuộc nhiệt độ S = S(t) = latex(pi(r(t))^2). Ta nói S(t) là hàm số hợp của hàm S = latex(pir^2) với r = r(t).
- Kết luận
- Kết luận:
Giả sử u = g(x) là hàm số xác định trên khoảng (a; b), có tập giá trị chứa trong khoảng (c; d) và y = f(u) là hàm số xác định trên khoảng (c; d). Hàm số y = f(g(x)) được gọi là hàm số hợp của hàm số y = f(u) với u = g(x).
Ảnh
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Biểu diễn hàm số y = latex((2x + 1)^10) dưới dạng hàm số hợp.
- Giải:
Ảnh
Hàm số latex(y = (2x + 1)^10) là hàm số hợp của hàm số y = latex(u^10) với u = 2x + 1.
b. Đạo hàm của hàm số hợp
b. Đạo hàm của hàm số hợp
Ảnh
HĐ4: Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp Cho các hàm số y = LATEX(u^2) và u = latex(x^2 + 1). a) Viết công thức của hàm số hợp latex(y = (u(x))^2) theo biến x. b) Tính và so sánh: y'(x) và y' (u) . u' (x).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm latex(u_x)' tại x và hàm số y = f(u) có đạo hàm latex(y_u)' tại y thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm latex(y_x)' tại x là: latex(y_x)' = latex(y_u)' . latex(u_x)'.
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số latex(y = sqrt(x^2 + 1)).
- Giải:
Ảnh
y' = latex((sqrt(x^2 + 1)))' = latex(((x^2 + 1))/(2sqrt(x^2 + 1)) = (2x)/(2sqrt(x^2 + 1)) = (x^2)/(sqrt(x^2 + 1))).
'
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = latex((2x - 3)^10); b) latex(y = sqrt(1 - x^2)) .
4. Đạo hàm của hàm số lượng giác
a. Đạo hàm của hàm số y = sinx
4. Đạo hàm của hàm số lượng giác
a. Đạo hàm của hàm số y = sinx
Ảnh
HĐ5: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x a) Với h ≠ 0, biến đổi hiệu sin(x + h) - sin x thành tích. b) Sử dụng đẳng thức giới hạn lim latex((sin h)/h) = 1 và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
* Hàm số y = sin x có đạo hàm trên R và (sin x)' = cos x. * Đối với hàm số hợp y = sin u, với u = u(x), ta có: (sin u)' = u' . cosu.
- Ví dụ 6
Ảnh
Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số y = latex(sin (2x +pi/8)).
Ta có: y' = latex((2x + pi/8))' . coslatex((2x + pi/8)) latex(= 2cos(2x + pi/8)).
- Giải:
- Luyện tập 3
- Luyện tập 3:
Ảnh
Tính đạo hàm của hàm số y = latex(sin(pi/3 - 3x)).
b. Đạo hàm của hàm số y = cos x
b. Đạo hàm của hàm số y = cos x
Ảnh
HĐ6: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = cos x. Bằng cách viết y = cosx = LATEX(sin(pi/2 - x)) , tính đạo hàm của hàm số y = cos x.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
* Hàm số y = cos x có đạo hàm trên R và (cos x)' = -sin x. * Đối với hàm số hợp y = cos u, với u = u(x), ta có: (cos u)' = -u' . sinu.
- Ví dụ 7
Ảnh
Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số y = latex(cos (4x - pi/3)).
Ta có: y' = -latex((4x - pi/3))' . sinlatex((4x - pi/3)) latex(= -4sin(4x - pi/3)).
- Giải:
- Luyện tập 4
- Luyện tập 4:
Ảnh
Tính đạo hàm của hàm số y = 2coslatex(pi/4 - 2x).
c. Đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cotx
c. Đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x
Ảnh
HĐ7: Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x a) Bằng cách viết y = tanx = LATEX((sinx)/(cosx) (x != pi/2 +kpi, k in Z)) , tính đạo hàm của hàm số y = tanx. b) Sử dụng hằng đẳng thức cot x = latex(tan(pi/2 - x)) với x≠kπ (k∈Z), tính đạo hàm của hàm số y = cot x.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi latex(x != pi/2 + kpi (k in Z)) và (tan x)' = latex(1/(cos^2x)). * Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi latex(x != kpi (k in Z)) và (cot x)' = latex(-1/(sin^2 x)). * Đối với các hàm số hợp y = tan u và y = cot u, với u = u(x) ta có: (tan u)' = latex(u/(cos^ u)); (cot u)' = latex(-u/(sin^2 u)) (GT tan u và cot u có nghĩa).
'
'
- Ví dụ 8
Ảnh
Ví dụ 8: Tính đạo hàm của hàm số y = latex(tan(2x + pi/4))
Ta có: y = latex(((2x +pi/4))/(cos^2(2x + pi/4)) = 2/(cos^2(2x +pi/4))).
- Giải:
'
- Luyện tập 5
- Luyện tập 5:
Ảnh
Tính đạo hàm của hàm số y = 2latex(tan^x + 3cot(pi/3 - 2x)).
- Vận dụng 1
Ảnh
- Vận dụng 1:
Một vật chuyển động có phương trình s(t) = 4coslatex((2pi t -pi/8)) (m), với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn KQ đến chữ số thập phân thứ nhất).
5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit
a. Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit
5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit
a. Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit
Ảnh
HĐ8: a) Sử dụng phép đổi biến t = LATEx(1/x) , tìm giới hạn lim latex((1 + x)^(1/x)) . b) Với latex(y = (1 + x)^(1/x)) , tính ln y và tìm giới hạn của lim lny . c) Đặt t = latex(e^x - 1). Tính x theo t và tìm giới hạn lim latex((e^x - 1)/x)).
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Ta có các giới hạn sau: * lim latex((1 + x)^(1/x) = e); * lim latex((ln(1 + x))/x = 1); * lim latex((e^x - 1)/x = 1).
latex(x -> 0)
latex(x -> 0)
latex(x -> 0)
b. Đạo hàm của hàm số mũ
b. Đạo hàm của hàm số mũ
Ảnh
HĐ9: a) Sử dụng giới hạn LATEX(lim (e^h - 1)/h) = 1 và đẳng thức latex(e^(x + h) - e^x = e^x(e^h - 1)), tính đạo hàm của hàm số y = latex(e^x) tại x bằng định nghĩa. b) Sử dụng hằng đẳng thức latex(a^x = e^(xlna)) (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = latex(a^x).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Hàm số latex(y = e^x) có đạo hàm R và latex((e^x))' = latex(e^x). Đối với hàm số hợp latex(y = e^u), với u = u(x), ta có: latex((e^u))' = latex(e^u) . u'. * Hàm số latex(y = a^x (0 < a != 1)) có đạo hàm trên R, latex((a^x))' = latex(a^x lna). Đối với hàm số hợp y = latex(a^u), với u = u(x), ta có: latex((a^u))' = latex(a^u) . u' . ln a.
- Ví dụ 9
Ảnh
Ví dụ 9: Tính đạo hàm của hàm số latex(y = 2^(x^2 - x)).
Ta có: y' = latex(2^(x^2 - x).(x^2 - x))' . ln 2 = latex(2^(x^2 - x) (2x -1) ln 2).
- Giải:
- Luyện tập 6
- Luyện tập 6:
Ảnh
Tính đạo hàm của hàm số sau: a) latex(y = e^(x^2 - x)); b) latex(y = 3^(sinx)).
c. Đạo hàm của hàm số lôgarit
c. Đạo hàm của hàm số lôgarit
Ảnh
HĐ10: a) Sử dụng giới hạn lim latex((ln(1 + t))/t) và đẳng thức ln(x + h) - lnx = latex(ln((x + h)/x) = ln(1 + h/x)) , tính đạo hàm của hàm số y = ln x tại điểm x > 0 bằng ĐN. b) Sử dụng đẳng thức latex(log_a x = (lnx)/(ln a)) (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = latex(log_a x).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Hàm số y = lnx đạo hàm trên khoảng latex((0; +oo)) và (lnx)' = latex(1/x). Đối với hàm số hợp y = lnu, với u = u(x), ta có: (lnu)' = latex(u/u). * Hàm số latex(y = log_a x) có đạo hàm trên khoảng latex((0; +oo)) và latex((log_a x))' = latex(1/(x lna)). Đối với hàm số hợp y = latex(log_a u), với u = u(x), ta có: latex((log_a u))' = latex(u/(u lna)).
'
'
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Với x < 0, ta có ln|x| = ln(-x) và [ln(-x)]' = latex(((-x))/x = 1/x). Từ đó ta có: (ln|x|)' = latex(1/x, AA x!= 0)).
'
- Ví dụ 10
Ảnh
Ví dụ 10: Tính đạo hàm của hàm số y = latex(ln(x^2 + 1)).
Với latex(x^2 + 1 > 0) với mọi x nên hàm số xác định trên R. Ta có: y' = latex(((x^2 + 1))/(x^2 + 1) = (2x)/(x^2 + 1)).
- Giải:
'
- Luyện tập 7
- Luyện tập 7:
Ảnh
Tính đạo hàm của hàm số y = latex(log_2(2x - 1)).
- Vận dụng 2
Ảnh
- Vận dụng 2:
Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi pH = –log[H+], ở đó [H+] là nồng độ (mol/l) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đổi của pH đối với nồng độ [H+].
Luyện tập và vận dụng
Bài 1
Ảnh
Hình vẽ
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = latex(x^3 - 3x^2 + 2x + 1); b) y = latex(x^2 - 4sqrtx +3).
Bài 2 (- Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = latex(xsin^2x); b) latex(y = cos^2x + sin^2x); c) y = sin3x – 3sinx; d) y = tanx + cotx.
Bài 3 (- Luyện tập và vận dụng)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 3: Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi s(t) = 12 + 0,5sin(4πt), trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau t giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu ?
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Bài 33: Đạo hàm cấp hai".
Dặn dò
- Cảm ơn
Ảnh
CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC !