CHƯƠNG 7. BÀI 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Trang bìa
Trang bìa
Hình vẽ
CHƯƠNG 7. BÀI 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Khởi động
Giả sử hai hàm số f(x) và g(x) lần lượt có đạo hàm tại LATEX(x_0), là f'(x) và g'(x). Làm thế nào để tính đạo hàm của các hàm số là tổng, hiệu, tích hoặc thương của f(x) và g(x) tại LATEX(x_0)?
Đạo hàm của y = x^n
Khám phá 1
1. Đạo hàm của hàm số y = LATEX(x^n), n∈LATEX(N^**)
a) Khám phá 1:
a, Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = x tại điểm x = LATEX(x_0). b, Nhắc lại đạo hàm của các hàm số y = LATEX(x^2), y = LATEX(x^3) đã tìm được ở bài học trước. Từ đó, dự đoán đạo hàm của hàm số y = LATEX(x^n), n∈LATEX(n^**).
Ảnh
Giải:
a, Ta có y'(LATEX(x_0)) = lim LATEX((f(x)-f(x_0))/(x-x_0)) = lim LATEX((x-x_0)/(x-x_0)) = 1 Vậy y'(LATEX(x_0)) = 1. b, Có (LATEX(x^2))' = 2x, (LATEX(x^3))' = LATEX(3x^2) Dự đoán (LATEX(x^n))' = nLATEX(x^(n-1)).
Ảnh
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
Nhận xét
Ảnh
1. Đạo hàm của hàm số y = LATEX(x^n), n∈LATEX(N^**)
b) Nhận xét:
Hàm số y = LATEX(x^n), n∈LATEX(N^**) có đạo hàm trên R và (LATEX(x^n))' = nLATEX(x^(n-1)).
Ảnh
Ví dụ 1
Ảnh
1. Đạo hàm của hàm số y = LATEX(x^n), n∈LATEX(N^**)
c) Ví dụ 1:
Tính đạo hàm của hàm số y = LATEX(x^5) tại điểm x=2 và x=LATEX(-1/2).
Giải:
Ta có (LATEX(x^5))' = 5LATEX(x^4) Từ đó y(2)' = 5.LATEX(2^4) = 80 y(LATEX(-1/2))' = 5.LATEX((-1/2)^4) = LATEX(5/16)
Ảnh
Ảnh
Thực hành 1
Ảnh
1. Đạo hàm của hàm số y = LATEX(x^n), nLATEX(in)LATEX(N^**)
d) Thực hành 1:
Tính đạo hàm của hàm số y = LATEX(x^10) tại x = −1 và x = LATEX(root3 2).
Giải:
Ta có y' = (LATEX(x^10))' = 10LATEX(x^9) Khi đó y'(−1) = 10.LATEX((-1)^9) = −10 y'(LATEX(root3 2)) = 10.LATEX((root3 2)^9) = 10.LATEX((2^(1/3))^9) = 80
Ảnh
Đạo hàm của y = căn x
Khám phá 2
Ảnh
2. Đạo hàm của hàm số y = LATEX(sqrtx)
a) Khám phá 2:
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = LATEX(sqrtx) tại điểm x = LATEX(x_0) với LATEX(x_0) > 0.
Giải:
Ta có y'(LATEX(x_0)) = lim LATEX((f(x)-f(x_0))/(x-x_0)) = lim LATEX((sqrtx - sqrtx_0)/(x-x_0)) = lim LATEX((x-x_0)/((x-x_0)(sqrtx + sqrtx_0))) = lim LATEX(1/(sqrtx + sqrtx_0)) = LATEX(1/(2sqrtx_0)) Vậy y'(LATEX(x_0)) = LATEX(1/(2sqrtx_0))
Ảnh
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
Nhận xét 1
Ảnh
Ảnh
2. Đạo hàm của hàm số y = LATEX(sqrtx)
b) Nhận xét 1:
Hàm số y = LATEX(sqrtx) có đạo hàm trên khoảng (0;+LATEX(oo)) và (LATEX(sqrtx))' = LATEX(1/(2sqrtx)).
Ảnh
Ví dụ 2
Ảnh
2. Đạo hàm của hàm số y = LATEX(sqrtx)
c) Ví dụ 2:
Tính đạo hàm của hàm số y = LATEX(sqrtx) tại x = 1 và x = LATEX(1/4).
Giải:
Ta có y' = (LATEX(sqrtx))' = LATEX(1/(2sqrtx)), x > 0 Từ đó y'(1) = LATEX(1/(2sqrt1)) = LATEX(1/2) y'(LATEX(1/4)) = LATEX(1/(2sqrt(1/4))) = LATEX(1/(2.(1/2))) = 1
Ảnh
Ảnh
Thực hành 2
2. Đạo hàm của hàm số y = LATEX(sqrtx)
d) Thực hành 2:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = LATEX(sqrtx) tại điểm có hoành độ bằng 4.
Giải:
Ta có y' = (LATEX(sqrtx))' = LATEX(1/(2sqrtx)) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = LATEX(sqrtx) tại điểm có hoành độ bằng 4 là: k = y'(4) = LATEX(1/(2sqrt4)) = LATEX(1/4) Với x = 4 thì y = LATEX(sqrt4) = 2 Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = LATEX(sqrtx) tại điểm có hoành độ bằng 4 là y = LATEX(1/4)(x-4)+2 hay y = LATEX(1/4)x+1 Vậy y = LATEX(1/4)x+1 là tiếp tuyến cần tìm.
Ảnh
Nhận xét 2
Ảnh
2. Đạo hàm của hàm số y = LATEX(sqrtx)
e) Nhận xét 2:
- Cho số thực LATEX(alpha). Hàm số y = LATEX(x^(alpha)) được gọi là hàm số luỹ thừa với TXĐ (0;+LATEX(oo)) Công thức (LATEX(x^n))' = nLATEX(x^(n-1)) còn đúng khi n là số thực, tức là với số thực LATEX(alpha) bất kì (LATEX(x^(alpha)))' = LATEX(alpha)LATEX(x^((alpha)-1)) (x > 0) Với LATEX(alpha) = LATEX(1/2), ta nhận được công thức đã biết: (LATEX(sqrtx))' = (LATEX(x^(1/2)))' = LATEX(1/2)LATEX(x^(1/2-1)) = LATEX(1/2)LATEX(x^(-1/2)) = LATEX(1/(2sqrtx)) (x > 0) - Dùng định nghĩa, ta tìm được công thức đạo hàm: + (C)' = 0 (C là hằng số) + (LATEX(1/x))' = -LATEX(1/(x^2)) (x LATEX(!=) 0)
Ví dụ 3
2. Đạo hàm của hàm số y = LATEX(sqrtx)
f) Ví dụ 3:
Tính đạo hàm của hàm số y = LATEX(root3 x) tại điểm x = 8.
Giải:
Ta có y' = (LATEX(root3 x))' = (LATEX(x^(1/3)))' = LATEX(1/3)LATEX(x^(1/3-1)) = LATEX(1/3)LATEX(x^(-2/3)) = LATEX(1/(3root 3 (x^2))) Từ đó y'(8) = LATEX(1/(3root 3 (8^2))) = LATEX(1/(3(root3 (2^3))^2)) = LATEX(1/(3.2^2)) = LATEX(1/12)
Ảnh
Ảnh
Thực hành 3
2. Đạo hàm của hàm số y = LATEX(sqrtx)
g) Thực hành 3:
Tìm đạo hàm của các hàm số: a, y = LATEX(root4 x) tại x = 1 b, y = LATEX(1/x) tại x = LATEX(-1/4)
Giải:
a, Ta có y' = (LATEX(root4 x))' = LATEX(1/4).LATEX(x^(-3/4)) = LATEX(1/4).LATEX(1/(root4 (x^3))) Khi đó y'(1) = LATEX(1/4).LATEX(1/(root4 (1^3))) = LATEX(1/4) b, Ta có y' = (LATEX(1/x))' = -LATEX(1/(x^2)) Khi đó y'(-LATEX(1/4)) = -LATEX(1/((-1/4)^2)) = -16
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Đạo hàm của hàm số lượng giác
Khám phá 3
3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
a, Khám phá 3:
Cho biết lim LATEX((sinx)/x) = 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = sinx.
x→0
Giải:
Có y'(LATEX(x_0)) = lim LATEX((f(x)-f(x_0))/(x-x_0)) = lim LATEX((sinx-sinx_0)/(x-x_0)) = lim LATEX((2cos((x+x_0)/2)sin((x-x_0)/2))/(x-x_0)) = lim LATEX((2cos((x+x_0)/2))). lim LATEX(1/2 .(sin((x-x_0)/2))/((x-x_0)/2)) = LATEX((2cos((2x_0)/2))) .LATEX(1/2) = cosLATEX(x_0) (do lim LATEX((sin((x-x_0)/2))/((x-x_0)/2)) = 1) Vậy y' = (sinx)' = cosx.
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
Ảnh
Công thức
Ảnh
3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
b) Công thức:
- (sinx)' = cosx - (cosx)' = -sinx - (tanx)' = LATEX(1/(cos^2 x)) (xLATEX(!=)LATEX(pi/2 + kpi), kLATEX(in)Z) - (cotx)' = -LATEX(1/(sin^2 x)) (xLATEX(!=)LATEX(kpi), kLATEX(in)Z)
Ảnh
Ví dụ 4
Ảnh
Ảnh
3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
c) Ví dụ 4:
Tính đạo hàm của hàm số y = cosx tại x = LATEX(pi/6).
Giải:
Ta có y' = (cosx)' = -sinx Vậy y'(LATEX(pi/6)) = -sinLATEX(pi/6) = -LATEX(1/2)
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Thực hành 4
Ảnh
3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
d) Thực hành 4:
Tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại x = LATEX((3pi)/4).
Giải:
Ta có y' = (tanx)' = LATEX(1/(cos^2x)) Vậy y'(LATEX((3pi)/4)) = LATEX(1/(cos^2((3pi)/4))) = 2.
Ảnh
Ảnh
Đạo hàm hàm mũ và hàm lôgarit
Khám phá 4
Ảnh
4. Đạo hàm hàm số mũ và hàm số lôgarit
a) Khám phá 4:
x→0
x→0
Cho biết lim LATEX((e^x -1)/x) = 1 và lim LATEX((ln(1+x))/x) = 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số: a, y = LATEX(e^x) b, y = lnx
Ảnh
4. Đạo hàm hàm số mũ và hàm số lôgarit
Giải:
a, Có y'(LATEX(x_0)) = lim LATEX((f(x)-f(x_0))/(x-x_0)) = lim LATEX((e^x - e^(x_0))/(x-x_0)) = lim LATEX((e^(x_0)(e^(x-x_0)-1))/(x-x_0)) = LATEX(e^(x_0)) (do lim LATEX((e^(x-x_0)-1)/(x-x_0)) = 1) Vậy y'= (LATEX(e^x))' = LATEX(e^x). b, Ta có y'(LATEX(x_0)) = lim LATEX((f(x)-f(x_0))/(x-x_0)) = lim LATEX((lnx - lnx_0)/(x-x_0)) = lim LATEX((1/(x_0).(lnx/(x_0))/(x/(x_0)-1))) = lim LATEX(1/(x_0)) . lim LATEX((ln(1+(x/(x_0)-1)))/(x/(x_0)-1)) = LATEX(1/(x_0)) (do lim LATEX((ln(1+(x/(x_0)-1)))/(x/(x_0)-1)) = 1) Vậy y' = (lnx)' = LATEX(1/x).
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
Công thức
Ảnh
4. Đạo hàm hàm số mũ và hàm số lôgarit
b) Công thức:
- (LATEX(e^x))' = LATEX(e^x) - (lnx)' = LATEX(1/x) (x > 0) - (LATEX(a^x))' = LATEX(a^x)lna ( a > 0, a LATEX(!=) 1) - (LATEX(log_a x))' = LATEX(1/(xlna)) ( x > 0, a > 0, a LATEX(!=) 1)
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 5
4. Đạo hàm hàm số mũ và hàm số lôgarit
c) Ví dụ 5:
Tìm đạo hàm các hàm số: a, y = LATEX(e^x) tại x = 2ln3 b, y = LATEX(log_5 x) tại x = 2
Giải:
a, Ta có y' = (LATEX(e^x))' = LATEX(e^x) Do đó y'(2ln3) = LATEX(e^(2ln3)) = LATEX((e^(ln3))^2) = LATEX(3^2) = 9. b, Ta có y' = (LATEX(log_5 x))' = LATEX(1/(xln5)) (x > 0) Do đó y'(2) = LATEX(1/(2ln5)).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Thực hành 5
Ảnh
4. Đạo hàm hàm số mũ và hàm số lôgarit
d) Thực hành 5:
Tính đạo hàm của các hàm số: a, y = LATEX(9^x) tại x = 1 b, y = lnx tại x = LATEX(1/3)
Giải:
a, Ta có y' = (LATEX(9^x))' = LATEX(9^x)ln9 Do đó y'(1) = LATEX(9^1)ln9 = 9ln9. b, Ta có y' = (lnx)' = LATEX(1/x) Do đó y'(LATEX(1/x))' = LATEX(1/(1/3)) = 3.
Ảnh
Ảnh
Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương
Khám phá 5
Ảnh
5. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số
a) Khám phá 5:
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số có đạo hàm tại LATEX(x_0). Xét hàm số h(x) = f(x) + g(x). Ta có LATEX((h(x)-h(x_0))/(x-x_0)) = LATEX((f(x)-f(x_0))/(x-x_0)) + LATEX((g(x)-g(x_0))/(x-x_0)) Nên h'(LATEX(x_0)) = lim LATEX((h(x)-h(x_0))/(x-x_0)) = lim LATEX((f(x)-f(x_0))/(x-x_0)) + lim LATEX((g(x)-g(x_0))/(x-x_0)) = ... + ... Chọn biểu thức thích hợp thay cho chỗ chấm để tìm h'(LATEX(x_0)).
Ảnh
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
Ảnh
5. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số
Giải:
Ta có lim LATEX((f(x)-f(x_0))/(x-x_0)) = f'(LATEX(x_0)) và lim LATEX((g(x)-g(x_0))/(x-x_0)) = g'(LATEX(x_0)) h'(LATEX(x_0)) = f'(LATEX(x_0)) + g'(LATEX(x_0)) Do đó h'(LATEX(x_0)) = lim LATEX((h(x)-h(x_0))/(x-x_0)) = lim LATEX((f(x)-f(x_0))/(x-x_0)) + lim LATEX((g(x)-g(x_0))/(x-x_0)) = f'(LATEX(x_0)) + g'(LATEX(x_0)).
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
x→LATEX(x_0)
Ảnh
Ảnh
Công thức - Chú ý
5. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số
b) Công thức:
Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc tập xác định. Khi đó: - (u + v)' = u' + v' - (u - v)' = u' - v' - (uv)' = u'v + uv' - (LATEX(u/v))' = LATEX((u v - uv )/(v^2)) (v = v(x) LATEX(!=) 0)
' '
c) Chú ý:
- (C.v)' = C.v' (C là hằng số) - (LATEX(1/v))' = -LATEX(v/(v^2)) (v = v(x) LATEX(!=) 0)
'
Ảnh
Ví dụ 6
5. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số
d) Ví dụ 6:
Tính đạo hàm của các hàm số sau: a, y = LATEX(3x^2) - 4x + 2 b, y = xsinx c, y = LATEX((3x+2)/(2x-1))
Giải:
a, (LATEX(3x^2) - 4x + 2)' = (LATEX(3x^2))' - (4x)' + (2)' = 3(LATEX(x^2))' - 4(x)' + 0 = 3.2x - 4.1 = 6x - 4 b, (xsinx)' = (x)'sinx + x(sinx)' = 1.sinx + xcosx = sinx + xcosx c, (LATEX((3x+2)/(2x-1)))' = LATEX(((3x+2)(2x-1)-(3x+2)(2x-1))/((2x-1)^2)) = LATEX((3(2x-1)-(3x+2).2)/((2x-1)^2)) = LATEX((6x-3-6x-4)/((2x-1)^2)) = -LATEX(7/((2x-1)^2))
' '
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 7
5. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số
e) Ví dụ 7:
Tính đạo hàm của các hàm số sau: a, y = LATEX(x^2 . 3^x) b, y = LATEX(sqrtx/(cosx))
Giải:
a, (LATEX(x^2 . 3^x))' = (LATEX(x^2))'.LATEX(3^x) + LATEX(x^2).(LATEX(3^x))' = 2x.LATEX(3^x) + LATEX(x^2).LATEX(3^x)ln3 = x.LATEX(3^x)(2+xln3) b, (LATEX(sqrtx/(cosx)))' = LATEX(((sqrtx).cosx - sqrtx.(cosx))/(cos^2 x)) = LATEX((1/(2sqrtx).cosx - sqrtx.(-sinx))/(cos^2 x)) = LATEX((cosx+2xsinx)/(2sqrtx. cos^2 x))
' '
Ảnh
Ảnh
Thực hành 6
Ảnh
5. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số
f) Thực hành 6:
Tính đạo hàm của các hàm số: a, y = xLATEX(log_2 x) b, y = LATEX(x^3 . e^x)
Giải:
a, (xLATEX(log_2 x))' = (x)'.LATEX(log_2 x) + x(LATEX(log_2 x))' = LATEX(log_2 x) + x.LATEX(1/(xln2)) = LATEX(log_2 x) + LATEX(1/(ln2)) b, (LATEX(x^3 . e^x))' = (LATEX(x^3))'.LATEX(e^x) + LATEX(x^3).(LATEX(e^x))' = 3LATEX(x^2 . e^x) + LATEX(x^3 . e^x)
Ảnh
Ảnh
Đạo hàm của hàm hợp
Khám phá 6
6. Đạo hàm của hàm hợp
a) Khám phá 6:
Cho hàm số u = sinx và hàm số y = LATEX(u^2). a, Tính y theo x. b, Tính LATEX(y_x)(đạo hàm của y theo biến x), LATEX(y_u)(đạo hàm của y theo biến u) và LATEX(u_x)(đạo hàm của u theo biến x) rồi so sánh LATEX(y_x) với LATEX(y_u).LATEX(u_x).
Giải:
' '
'
' ' '
a, Ta có y = LATEX(u^2) = LATEX(sin^2 x) b, Ta có LATEX(y_x) = (LATEX(sin^2 x))' = (sinx.sinx)' = (sinx)'.sinx + sinx.(sinx)' = cosx.sinx + sinx.cosx = 2sinx.cosx = sin2x (1) LATEX(y_u) = (LATEX(u^2))' = 2u = 2sinx LATEX(u_x) = (sinx)' = cosx Có LATEX(y_u . u_x) = 2sinx.cosx = sin2x (2) Từ (1) và (2) có LATEX(y_x) = LATEX(y_u . u_x)
'
' '
' '
' ' '
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 8
Ảnh
6. Đạo hàm của hàm hợp
b) Ví dụ 8:
a, Hàm số y = LATEX((2x+1)^3) là hàm hợp của các hàm số nào? b, Hàm số y = cosLATEX(x^2 +1) là hàm hợp của các hàm số nào?
Giải:
a, Hàm số y = LATEX((2x+1)^3) là hàm hợp của hàm số y = LATEX(u^3) với u = 2x+1. b, Hàm số y = cosLATEX(x^2 +1) là hàm hợp của hàm số y = cosu với u = LATEX(x^2 +1).
Ảnh
Ảnh
Nhận xét
6. Đạo hàm của hàm hợp
c) Nhận xét:
Ảnh
Hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là LATEX(u_x) và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là LATEX(y_u) thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là LATEX(y_x) = LATEX(y_u).LATEX(u_x)
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 9
6. Đạo hàm của hàm hợp
d) Ví dụ 9:
Tính đạo hàm các hàm số sau: a, y = LATEX((3x^2 + x)^3) b, y = sin2x
Giải:
a, Đặt u = LATEX(3x^2 + x) thì y = LATEX(u^3) Ta có LATEX(u_x)' = 6x + 1 và LATEX(y_u)' = LATEX(3u^2) LATEX(rArr) LATEX(y_x)' = LATEX(y_u)' . LATEX(u_x)' = LATEX(3u^2) . (6x + 1) = 3(LATEX(3x^2 + x)) . (6x + 1) Vậy y' = 3(LATEX(3x^2 + x)) . (6x + 1) b, Đặt u = 2x thì y = sinu Ta có LATEX(u_x)' = 2 và LATEX(y_u)' = cosu LATEX(rArr) LATEX(y_x)' = LATEX(y_u)' . LATEX(u_x)' = cosu.2 = 2cos2x Vậy y' = 2cos2x
Ảnh
Ảnh
Thực hành 7
6. Đạo hàm của hàm hợp
e) Thực hành 7:
Tính đạo hàm của các hàm số sau: a, y = LATEX((2x^3 + 3)^2) b, y = cos3x c, y = LATEX(log_2 (x^2 + 2))
Giải:
a, y' = [LATEX((2x^3 + 3)^2)]' = 2LATEX((2x^3 + 3))LATEX((2x^3 + 3))' = 12LATEX(x^2)LATEX((2x^3 + 3)) b, y' = (cos3x)' = -sin3x . (3x)' = -3sin3x c, y' = [LATEX(log_2 (x^2 + 2))]' = LATEX(((x^2 + 2))/((x^2 + 2)ln2)) = LATEX((2x)/((x^2 + 2)ln2))
'
Ảnh
Ảnh
Bảng đạo hàm
Bảng đạo hàm
Ảnh
Đạo hàm cấp hai
Khám phá 7
7. Đạo hàm cấp hai
a) Khám phá 7:
Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) = LATEX(2t^3) + 4t + 1, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. a, Tính vận tốc tức thời v(t) tại thời điểm t. b, Đạo hàm v'(t) biểu thị tốc độ thay đổi của vận tốc theo thời gian, còn gọi là gia tốc của chuyển động, kí hiệu a(t). Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2.
Giải:
a, Vận tốc tức thời v(t) tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = (LATEX(2t^3) + 4t + 1)' = LATEX(6t^2 + 4) b, a(t) = v'(t) = (LATEX(6t^2 + 4))' = 12t Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 là a(2) = 12.2 = 24 (m/LATEX(s^2))
Ảnh
Ảnh
Định nghĩa
7. Đạo hàm cấp hai
b) Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi điểm x∈(a;b) thì ta có hàm số y' = f'(x) xác định trên (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y” hoặc f”(x). f''(x) = (f'(x))'
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 10
Ảnh
7. Đạo hàm cấp hai
c) Ví dụ 10:
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số: a, y = LATEX(3x^2) + 5x + 1 b, y = sinx
Giải:
a, y' = 3.2x + 5 + 0 = 6x + 5 y" = 6.1 + 0 = 6 b, y' = cosx y" = -sinx
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Ý nghĩa cơ học
Ảnh
7. Đạo hàm cấp hai
d) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai:
Đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời tại thời điểm t của vân chuyển động có phương trình s = f(t).
Ảnh
Ví dụ 11
Ảnh
7. Đạo hàm cấp hai
e) Ví dụ 11:
Một vật chuyển động thẳng không đều xác định bởi phương trình x(t) = LATEX(t^2)-4t+3 trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 4.
Giải:
Ta có s'(t) = 2t - 4 s"(t) = 2 Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 4 là s"(4) = 2 (m/LATEX(s^2))
Ảnh
Ảnh
Thực hành 8
7. Đạo hàm cấp hai
f) Thực hành 8:
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a, y = LATEX(x^2) - x b, y = cosx
Giải:
a, Có y' = (LATEX(x^2) - x)' = 2x - 1 y" = (2x - 1)' = 2 b, Có y' = (cosx)' = -sinx y" = (-sinx) = -cosx
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Vận dụng
7. Đạo hàm cấp hai
g) Vận dụng:
Một hòn sỏi rơi tự do có quãng đường rơi tính theo thời gian t là s(t) = 4,9LATEX(t^2) , trong đó s tính bằng mét và t tính bằng giây. Tính gia tốc rơi của hòn sỏi lúc t = 3.
Giải:
Vận tốc của hòn sỏi tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = (4,9LATEX(t^2))' = 9,8t. Gia tốc của hòn sỏi tại thời điểm t là a(t) = v'(t) = (9,8t)' = 9,8. Gia tốc rơi của hòn sỏi lúc t = 3 là a(3) = 9,8 m/LATEX(s^2). Vậy gia tốc rơi của hòn sỏi lúc t = 3 là 9,8 m/LATEX(s^2).
Ảnh
Ảnh
Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
Dặn dò
- Ôn lại bài cũ. - Làm bài tập trong SGK, SBT. - Chuẩn bị bài mới: "Chương 8: Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc."
Ảnh
Cảm ơn
Ảnh