CHƯƠNG VII. BÀI 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 11
CHƯƠNG VII. BÀI 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Khởi động
Tình huống mở đầu
Ảnh
Ảnh
Tình huống mở đầu:
Đạo hàm của những hàm số sơ cấp cơ bản là gì? Làm thế nào để thực hiện được các quy tắc đạo hàm?
I. Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản
1. Đạo hàm của hàm số y = latex(x^n (n in N, n > 1)).
I. Đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản
1. Đạo hàm của hàm số y = latex(x^n (n in N, n > 1)).
Ảnh
HĐ1: a) Tính đạo hàm của hàm số latex(y = x^2) tại điểm latex(x_0) bất kì bằng định nghĩa. b) Dự đoán đạo hàm của hàm số latex(y = x_n) tại điểm x bất kì.
- Kết luận
Ảnh
Hàm số latex(y = x^n (n in N, n > 1)) có đạo hàm tại mọi latex(x in R) và (latex(x^n))' = latex(n x^(n - 1)).
- Kết luận:
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Ảnh
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) = latex(x^10). a) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm x bất kì. b) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm latex(x_0 = 1).
Giải:
Ảnh
a) Ta có: f'(x) = latex((x^10))' = latex(10x^9). b) Đạo hàm của hàm số tại điểm latex(x_0) = 1 là: f'(1) = 10 . latex(1^9) = 10.
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Cho hàm số latex(y = x^22). a) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm x bất kì. b) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm latex(x_0 = -1).
2. Đạo hàm của hàm số latex(y = sqrtx)
2. Đạo hàm của hàm số latex(y = sqrtx)
Ảnh
HĐ2: Tính đạo hàm của hàm số latex(y = sqrtx) tại điểm latex(x_0 = 1) bằng định nghĩa.
- Kết luận
Ảnh
Hàm số latex(y = sqrtx) có đạo hàm tại mọi latex(x in R), x > 0 và (latex(sqrtx))' = latex(1/(2sqrtx)).
- Kết luận:
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = latex(sqrtx) tại điểm latex(x_0 = 4).
Giải:
Ảnh
Ta có: f'(x) = latex(1/(2sqrtx)) với x > 0. Vậy đạo hàm của hàm số trên tại điểm latex(x_0 = 4) là: f'(4) = latex(1/(2sqrt4) = 1/4).
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = latex(sqrtx) tại điểm latex(x_0 = 9).
3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
Ảnh
HĐ3: Bằng cách sử dụng kết quả latex(lim (sinx)/x = 1) tính đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.
- Kết luận
Ảnh
Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi latex(x in R) và (sinx)' = cosx.
- Kết luận:
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại điểm latex(x_0 = pi/3).
Giải:
Ảnh
Ta có: f'(x) = cosx. Đạo hàm của hàm số trên tại điểm latex(x_0 = pi/3) là: f'(latex(pi/3)) = latex(cospi/3 = 1/2).
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại điểm latex(x_0 = pi/2).
- Hoạt động 4
Ảnh
HĐ4: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cosx tại điểm x bất kì.
- Kết luận
Ảnh
Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi latex(x in R) và (cosx)' = -sinx.
- Kết luận:
- Ví dụ 4
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại điểm latex(x_0 = pi/3).
Giải:
Ảnh
Ta có: f'(x) = cosx. Đạo hàm của hàm số trên tại điểm latex(x_0 = pi/3) là: f'(latex(pi/3)) = latex(cospi/3 = 1/2).
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Một vật dao động theo phương trình f(x) = cosx, trong đó x là thời gian tính theo giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm latex(x_0 = 2).
- Hoạt động 5
Ảnh
HĐ5: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại điểm x bất kì, latex(x != pi/2 + kpi (k in Z)).
- Kết luận
Ảnh
Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi latex(x != pi/2 + kpi, k in Z) và (tanx)' = latex(1/(cos^2x)).
- Kết luận:
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tanx tại điểm latex(x_0 = pi/4).
Giải:
Ảnh
Ta có: f'(x) = latex(1/(cos^2x) (x != pi/2 + kpi, k in Z)). Đạo hàm của hàm số trên tại điểm latex(x_0 = pi/4) là: f'latex((pi/4) = 1/(cos^2(pi/4)) = 2).
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tanx tại điểm latex(x_0 = - pi/6).
- Hoạt động 6
Ảnh
HĐ6: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cotx tại điểm x bất kì, latex(x != kpi (k in Z)).
- Kết luận
Ảnh
Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi latex(x != kpi), latex(k in Z) và (cot x)' = latex(-1/(sin^2x)).
- Kết luận:
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = cot x tại điểm latex(x_0 = pi/2).
Giải:
Ảnh
Ta có: f'(x) = latex(1/(sinx) (x != kpi, k in Z)). Đạo hàm của hàm số trên tại điểm latex(x_0 = pi/(2)) là: f' latex((pi/2)= - 1/(sin^2(pi/x)) = -1).
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = cotx tại điểm latex(x_0 = - pi/3).
4. Đạo hàm của hàm số mũ
4. Đạo hàm của hàm số mũ
Ảnh
HĐ7: Bằng cách sử dụng kết quả lim latex((e^x - 1)/x = 1), tính đạo hàm của hàm số latex(y = e^x) tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.
latex(x -> 0)
- Kết luận
Ảnh
Hàm số y = latex(e^x) có đạo hàm tại mọi latex(x in R) và latex((e^x))' = latex(e^x). Định lí: Hàm số y = latex(a^x (a > 0, a != 1)) có đạo hàm tại mọi latex(x in R) và latex((a^x))' = latex(a^x)lna.
- Kết luận:
- Ví dụ 7
Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = latex(2^x) tại điểm latex(x_0 = 1).
Giải:
Ảnh
Ta có: f'(x) = latex(2^x) ln2. Đạo hàm của hàm số trên tại điểm latex(x_0 = 1) là: f'(1) = latex(2^1ln2 = 2ln2).
- Luyện tâp 7
Ảnh
- Luyện tập 7:
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = latex(10^x) tại điểm latex(x_0 = -1).
5. Đạo hàm của hàm số lôgarit
5. Đạo hàm của hàm số lôgarit
Ảnh
HĐ8: Bằng cách sử dụng kết quả lim latex((ln1 + x)/x = 1), tính đạo hàm của hàm số latex(y = ln) tại điểm x dương bất kì bằng định nghĩa.
latex(x -> 0)
- Kết luận
Ảnh
Hàm số y = lnx có đạo hàm tại mọi x dương và (lnx)' = latex(1/x). Định lí: Hàm số y = latex(log_a x (a > 0, a != 1)) có đạo hàm tại mọi x dương và latex((log_a x))' = latex(1/(xlna)).
- Kết luận:
- Ví dụ 8
Ví dụ 8: Tính đạo hàm số f(x) = ln x tại điểm latex(x_0 = 1).
Giải:
Ảnh
Ta có: f'(x) = latex(1/x (x > 0)). Đạo hàm của hàm số trên tại điểm latex(x_0 = 1) là: f'(1) = latex(1/1 = 1).
- Luyện tập 8
Ảnh
- Luyện tập 8:
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = logx tại điểm latex(x_0 = 1/2).
II. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm hợp
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
II. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm hợp
HĐ9: Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định trên khoảng (a; b), cùng có đạo hàm tại điểm latex(x_0 in (a; b)). a) Xét hàm số h(x) = f(x) + g(x), latex(x in (a; b)). So sánh: lim latex((h(x_0 + Deltax) - h(x_0))/(Deltax)) và lim latex((f(x_0 + Deltax) - f(x_0))/(Deltax)) + lim latex((g(x_0 + Deltax) - g(x_0))/(Deltax)). b) Nêu nhận xét về h' (latex(x_0)) và f'latex((x_0)) + g'latex((x_0)).
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Ảnh
- Định lí
- Định lí:
'
'
Ảnh
- Hệ quả
Ảnh
- Nhận xét:
Cho f = f(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. * Nếu c là một hằng số thì (cf)' = cf'. * latex((1/f))' = latex(-f/(f^2) (f = f(x) != 0)).
- Ví dụ 9
Ảnh
Ví dụ 9: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau: a) f(x) = latex(x^3 + x); b) g(x) = latex(x^4 - x^2).
a) f'(x) = latex((x^3))' + (x)' = latex(3x^2 + 1). b) g'(x) = latex((x^4))' - latex((x^2))' = latex(4x^3 - 2x).
Giải:
- Luyện tập 9
Ảnh
- Luyện tập 3:
Tính đạo hàm của hàm số latex(f(x) = xsqrtx) tại điểm x dương bất kì.
- Ví dụ 10
Ví dụ 10: Tính đạo hàm của hàm số: latex(y = (2x + 1)/(x - 1)).
Giải:
Ảnh
'
'
Ta có: latex(((2x + 1)/(x-1)))' = latex(((2x + 1)(x-1) - (2x + 1)(x - 1))/((x - 2)^2)) = latex((2(x - 1) - (2x + 1))/((x-1)^2) = -3/((x - 1)^2))
- Luyện tập 10
Ảnh
- Luyện tập 3:
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tanx + cotx tại điểm latex(x_0 = pi/3).
2. Đạo hàm của hàm hợp
Ảnh
HĐ10: Cho hàm số y = f(u) = sin u; u = g(x) = latex(x^2). a) Bằng cách thay đổi u bởi latex(x^2) trong biểu thức sin u, hãy biểu thị giá trị của u theo biến số x. b) Xác định hàm số y = f(g(x))
2. Đạo hàm của hàm hợp
- Ví dụ 11
Ví dụ 11: Cho hàm số y = f(u) = latex(sqrtu) và u = g(x) = x - 2. Tìm hàm hợp y = f(g(x)) và tập xác định của nó.
Giải:
Ảnh
Ta có: y = f(g(x)) = f(x - 2) = latex(sqrt(x - 2)). Hàm số trên xác định khi và chỉ khi x - 2 latex(>= 0) hay latex(x >= 2). Tập xác định của hàm số đó là latex([2; +oo)).
- Quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp
- Quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp:
'
'
Ảnh
Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là latex(u_x)' và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại y là latex(y_u)' thì hàm hợp của y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là latex(y_x)' = latex(y_u)'. latex(u_x)'
- Nhận xét
- Nhận xét:
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 11
Ảnh
- Luyện tập 11:
Hàm số latex(y = log_2(3x + 1)) là hàm hợp của hai hàm số nào?
- Ví dụ 12
Ví dụ 12: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau: a) y = latex((3 - 2x)^4); b) y = cos(4x + 5).
Gợi ý:
Ảnh
a) Đặt u = 3 - 2x, ta có: y = latex(u^4). Khi đó: latex(y_u)' = latex(4u^3); latex(u_x)' = -2 Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp ta có: latex(y_x)' = latex(y_u)' . latex(u_x)' = latex(4u^3 . (-2) = -8u^3 = -8(3 - 2x)^3).
- Luyện tập 12
Ảnh
- Luyện tập 12:
Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau: a) y = latex(e^(3x + 1)); b) y = log_3(2x – 3).
Bài tập
Bài 1 (Bài tập)
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Cho u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?
a) (u + v + w)' = u' + v' + w';
b) (u + v – w)' = u' + v' – w';
c) (uv)' = u'v';
d) latex(u/v)' = u'/v/ với v = v(x) latex(!= 0), v' = v'(x) latex(!=0).
Bài 2 (Bài tập)
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Cho u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. CMR: (u . v . w)' = u' . v . w + u . v' . w + u . v . w'.
Bài 3
Hình vẽ
Bài 3: Một viên đạn được bắn từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu latex(v_0 = 196) m/s (bỏ qua sức cản của không khí). Tìm thời điểm mà tốc độ của viên đạn bằng 0. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét (lấy g = 9,8 m/latex(s^2))?
Ảnh
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương VII. Bài 3. Đạo hàm cấp hai".
Dặn dò:
- Cảm ơn
Ảnh