Công ty Cổ phần Mạng giáo dục Bạch Kim - 27 Huỳnh Thúc Kháng, Đống Đa, Hà Nội
Trang bìa
Trang bìa:
TIẾT 23: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Kiểm tra bài cũ
Bài 1:
* Bài 1 Hãy nêu các hệ thức lượng trong tam giác vuông: Giải 1. latex(a^2 = b^2 c^2) 2. latex(b^2 = a. b` 3. latex(h^2 = b`.c` 4. latex((1)/(h^2) = (1)/(b^2) (1)/(c^2)) 5. SinB = cosC = latex(b/a) 6. SinC = cosB = latex(c/a) 7. latex(c^2 = a.c` 8. ah=b.c 9. tanB = cotC=latex(b/c) 10. CotB = tanC=latex(c/b) Bài 2:
* Bài 2 Cho tam giác ABC như hình vẽ sau. Em hãy cho biết a. latex(vec(AC) - vec(AB) b. latex(vec(BC)^2 Giải a. latex(vec(AC) - vec(AB) latex(vec(AC) -vec(AB) = vec(BC)) b. latex(vec(BC)^2 latex(vec(BC)^2=(vec(AC) - vec(AB))^2=vec(AC)^2 vec(AB)^2-2vec(AC).vec(AB) =latex(vec(AC)^2 vec(AB)^2-2|vec(AC)|.|vec(AB)|cosA) Vậy ta có: latex(BC^2 = AC^2 AB^2 - 2AC.AB.cosA) Định lí cosin
Bài toán:
1. Định lí côsin a. Bài toán Trong tam giác ABC cho biết hai cạnh AB, AC và góc A, hãy tính cạnh BC. Giải Ta có: latex(BC^2 =|vec(BC)^2| =(vec(AC) -vec(AB))^2 = latex(vec(AC)^2 vec(AB)^2 - 2vec(AC).vec(AB) latex(BC^2 = vec(AC)^2 vec(AB)^2 - 2|vec(AC)|.|vec(AB)|cosA Vậy ta có latex(BC^2=AC^2 AB^2-2AC.AB.cosA) Nên latex(BC =sqrt(AC^2 AB^2-2AC.ABcosA) Định lí côsin:
1. Định lí côsin b. Định lí côsin Trong tam giác ABC bất kì với BC=a, AC=b, AB=c ta có latex(a^2 = b^2 c^2 - 2bc cosA) latex(b^2 = a^2 c^2 - 2ac cosB) latex(c^2 = a^2 b^2 - 2abcosC) * Ví dụ Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 7cm, AC = 24cm. Tính đường cao AH? Giải latex(Delta ABC) vuông tại A Ta có: latex((1)/(AH)=(1)/(AB) (1)/(AC)=hArr (1)/(AH^2) =(1)/(7^2) (1)/(24^2) latex(hArr (1)/(AH^2) = (625)/(28224)rArr AH = sqrt((28224)/(625)) = (168)/(25) = 6,72) (cm) Hoạt động 2:
1. Định lí côsin b. Định lí côsin * Hoạt động 2 Hãy phát biểu định lí côsin bằng lời Trả lời Bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích độ dài hai cạnh đó nhân với côsin của góc tạo bởi chúng. * Hoạt động 3 Khi ABC là tam giác vuông, định lí côsin trở thành định lí quen thuộc nào? Trả lời Thì định lí côsin trở thành định lí Pitago Hệ quả:
1. Định lí côsin b. Định lí côsin * Hệ quả Tính góc của một tam giác khi biết ba cạnh CosA = latex((b^2 c^2-a^2)/(2bc) CosB = latex((a^2 c^2-b^2)/(2ac) CosC = latex((a^2 bc^2-c^2)/(2ab) * Ví dụ 2 Cho latex(Delta)ABC có latex(a = 2sqrt3)cm, b = 2cm, C=latex(30@) Tính cạnh c và góc A? Giải Theo định lí cosin ta có:latex(c^2 = a^2 b^2-2abcosC) latex(hArr c^2 = 12 4-2.2sqrt3.2.(sqrt3)/(2)hArr c^2 = 4rArr c=sqrt4)=2(cm) Ta có: CosA = latex((b^2 c^2-a^2)/(2bc) harrcosA =(2^2 2^2-(2sqrt3)^2)/(2.2.2)hArr cosA = -(1)/(2) Vậy latex(angleA=120@) Ví dụ 3:
1. Định lí côsin b. Định lí côsin * Ví dụ 3 Cho latex(Delta)ABC có latex(a = sqrt6)cm, b =2cm, c=latex((1 sqrt3))cm Tính A? Giải Theo định lí cosin ta có: Ta có: CosA = latex((b^2 c^2-a^2)/(2bc)) = latex(cosA =(4 (1 sqrt3)^2 - 6)/(4.(1 sqrt3))= (1)/(2) Vậy latex(angleA=60@) Áp dụng:
1. Định lí côsin c. Áp dụng Tính độ dài trung tuyến của tam giác latex(m_a^2=(2(b^2 c^2)-a^2)/(4) latex(m_b^2=(2(a^2 c^2)-b^2)/(4) latex(m_c^2=(2(a^2 b^2)-c^2)/(4) * Hoạt động 4 Cho latex(Delta) ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi latex(m_a, m_b, m_c) lần lượt là độ dài các đường trung tuyến hạ từ các đỉnh A, B, C. Tính latex(m_a, m_b, m_c) ? Giải Xét tam giác ABM. Theo định lí côsin ta có: latex(m_a^2 = c^2 (a/2)^2-2.c(a)/(2).cosB Xét tam giác ABC latex(m_a^2 =c^2 (a^2)/(4)-a.c.(a^2 c^2-b^2)/(2a.c) Theo hệ quả định lí côsin ta có: CosB=latex((a^2 c^2-b^2)/(2ac) latex(m_a^2 =(2(b^2 c^2)-a^2)/4 Định lí sin
Định lí sin :
2. Định lí sin a. Định lí Cho latex(Delta)ABC, R bán kính đường trong ngoại tiếp, ta có: latex((a)/(sin A) = (b)/(sinB) = (c)/(sin C) = 2R) Chứng minh (O;R) là đ.tròn ngoại tiếplatex(Delta)ABC. vẽ đường kính BA`, latex(Delta) BCA` vuông ở C latex(rArr BC = BA`sinA rArr a = 2R sinA` (A = A` hoặc A A` = latex(180@)) Do đó a =2RsinA. Vậy latex((alpha)/(sinA) = 2R) Các đẳng thức khác được chứng minh tương tự. Ví dụ 4:
2. Định lí sin * Ví dụ 4 Cho tam giác ABC biết latex(C=45@, B=60@) c=10. Tính b, R Giải Tính b: latex(b/(sinB) = c/(sinC) rArr b=(c.sinB)/(sinC)=(10sin60@)/(sin45@) =latex((10(sqrt3)/(2))/((sqrt2)/(2))=5sqrt6 Tính Rb: latex(b/(sinB) = 2R rArr R=(b)/(2sinB) = (5sqrt6)/(2sin60@)=(5sqrt6)/(2(sqrt3)/(2)) =5sqrt2 Ví dụ 5:
2. Định lí sin * Ví dụ 5 Chứng minh rằng với mọi latex(Delta)ABC ta có: CotA CotB CotC = latex((a^2 b^2 c^2)/(abc)R Giải Định lí hàm số sin latex(rArr sinA =(a)/(2R)) định lí hàm số cosin latex(rArr CosA = (b^2 c^2-a^2)/(2bc) latex(rArr CotA = (CosA)/(sinA) = (b^2 c^2-a^2)/(2bc):(a)/(2R) = (b^2 c^2-a^2)/(abc).R latex(rArr cotA = (b^2-c^2-a^2)/(abc).R Tương tự: latex(rArr cotB = (a^2-c^2-b^2)/(abc).R latex(rArr cotC = (a^2-b^2-c^2)/(abc).R CotA CotB CotC = latex((a^2 b^2 c^2)/(abc)R Củng cố
Bài 1:
* Bài 1 Cho tam giác ABC có A=latex(60@), AC=1cm, AB=2cm, Độ dài BC bằng:
A. latex(sqrt3)cm
B. latex((3sqrt3)/2)cm
C. 3cm
D. latex(3/2)cm
Bài 2:
* Bài 2 Cho tam giác ABC có AB=7 cm, BC=5cm, AC= 6cm Giá trị CosC bằng:
A. latex(1/2)
B. latex(-(1)/(5)
C. latex((1)/(5)
D. latex(2/5)
Bài 3:
* Bài 3 Cho tam giác ABC có AB=2cm,BC=6cm,AC=5cm.Khi đó độ dài đường trung tuyến AM của tam giác có độ dài là
A. latex((22)/(4))cm
B. latex(7/4)cm
C. latex((49)/(4))cm
D. latex((sqrt(22))/(5))cm
Dặn dò và kết thúc
Dặn dò:
DẶN DÒ - Đọc kỹ lại các bài đã học. - Làm bài tập từ 1 đến 3 sgk trang 59. - Chuẩn bị trước bài mới. Kết thúc: