CHƯƠNG II. BÀI 3. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTƠ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 12
CHƯƠNG II. BÀI 3. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTƠ
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Ảnh
Một chiếc máy quay phim ở đài truyền hình được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt P(0; 0; 4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt latex(Q_1(0; -1; 0)), latex(Q_2(sqrt3/2; 1/2; 0), Q_3(-sqrt3/2; 1/2; 0)) (H35). Biết rằng trọng lượng của máy quay là 360 N. Làm thế nào để tìm được tọa độ của các lực LATEX(vec(F_1), vec(F_2), vec(F_3)) tác dụng lên giá đỡ?
1. Biểu thức toạ độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với vectơ
Biểu thức toạ độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với vectơ
Ảnh
1. Biểu thức toạ độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với vectơ
- HĐ1
Ảnh
Ảnh
- Hoạt động 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (Hình 36), cho hai vectơ latex(vecu = (x_1; y_1; z_1)) và latex(vecu = (x_2; y_2; z_2)). a) Biểu diễn các vectơ latex(vecu + vecv, vecu - vecv, mvecu (m in R)) theo ba vectơ latex(veci, vecj, veck). b. Tìm toạ độ các vectơ latex(vecu +vecv, vecu - vecv, mvecu (m in R)).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Nếu latex(vecu = (x_1; y_1; z_1)) và latex(vecv = (x_2; y_2; z_2)) thì: latex(vecu + vecv = (x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2)); latex(vecu - vecv = (x_1 - x_2; y_1 - y_2; z_1 - z_2)); latex(mvecu = (mx_1; my_1; mz_1)) với latex(m in R)).
- Ví dụ 1
Ảnh
- Giải:
Mẫu: a) latex(3veca = (3 . (-2); 3.3; 3.2)). Vậy latex(3veca = (-6; 9; 6)). b) Ta có latex(2veca = (-4; 6; 4)) và latex(vecb = (2; 1; -1)). Do đó, latex(2veca - vecb = (-4-2; 6-1; 4-(-1))). Vậy latex(2veca - vecb = (-6; 5; 5)).
Ví dụ 1: Cho latex(veca = (-2; 3; 2), vecb = (2; 1; -1), vecc = (1; 2; 3)). Tính toạ độ của mỗi vectơ sau: a) latex(3veca); b) latex(2veca - vecb); c) latex(veca + 2vecb - 3/2 vecc).
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Ảnh
a) Cho latex(vecu = (-2; 0; 1), vecv = (0; 6; -2), vecw = (-2; 3; 2)). Tìm toạ độ của vectơ latex(vecu + 2vecv - 4vecw). b) Cho ba điểm A(– 1; – 3; – 2), B(2; 3; 4), C(3; 5; 6). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tâm giác
Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tâm giác
Ảnh
2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tâm giác
- HĐ2
Ảnh
- Hoạt động 2:
Cho điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. a) Vẽ vectơ latex(vec(OM)). b) Nêu cách xác định tọa độ của điểm M.
a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm latex(A(x_A, y_A; z_A)) và B(x_B; y_B; z_B)). Gọi latex(M(x_M; y_M; z_M)) là trung điểm của đoạn thẳng AB. * Biểu diễn vectơ latex(vec(OM)) theo hai vectơ latex(vec(OA), vec(OB)). * Tính toạ độ của điểm M theo toạ độ của các điểm latex(A(x_A; y_A, z_A)) và latex(B(x_B; y_B; z_B)). b) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho LATEX(Delta)ABC có trọng tâm G. * Biểu diễn vectơ latex(vec(OG)) theo ba vectơ latex(vec(OA), vec(OB), vec(OC)). * Tính toạ độ của điểm G theo toạ độ của các điểm latex(A(x_A; y_A, z_A)), latex(B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C)).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
* Cho hai điểm latex(A(x_A; y_A; z_A)) và latex(B(x_B; y_B; z_B)). Nếu latex(M(x_M; y_M; z_M)) là trung điểm đoạn thẳng AB thì latex(x_M = (x_A + x_B)/2; y_M = (y_A + y_B)/2; z_M = (z_A + z_B)/2), * Cho tam giác ABC có latex(A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C)). Nếu latex(G(x_G; y_G; z_G)) là trọng tâm tam giác ABC thì: latex(x_G = (x_A + x_B + x_C)/3; y_G = (y_A + y_B + y_C)/3; z_G = (z_A + z_B + z_C)/3)
- Ví dụ 2
- Giải:
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(-2; 1; 0), B(0; 2; 5), C(5; 0; 2). Tìm toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của latex(DeltaABC).
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
Cho ba điểm A(0; – 1; 1), B(1; 0; 5), G(1; 2; 0). a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, G không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
3. Biểu thức toạ đô của tích vô hướng
Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Ảnh
3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
- HĐ3
Ảnh
- Hoạt động 3:
Cho điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. a) Vẽ vectơ latex(vec(OM)). b) Nêu cách xác định tọa độ của điểm M.
Ảnh
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ latex(vecu = (x_1; y_1; z_1), vecv = (x_2; y_2; z_2)). Hãy biểu diễn các vectơ latex(vecu, vecv) theo ba vectơ đơn vị latex(veci, vecj, veck) và tính tích vô hướng latex(vecu . vecv).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Nếu latex(vecu = (x_1; y_1; z_1)) và latex(vecv = (x_2; y_2; z_2)) thì latex(vecu . vecv = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2).
- Nhận xét
Hình vẽ
Ảnh
- Nhận xét:
a) Nếu latex(veca = (x; y; z)) thì latex(|veca| = sqrt(veca . veca) = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)). b) Nếu latex(A(x_1; y_1; z_1)) và latex(B(x_2 y_2; z_2)) thì: latex(AB = |vec(AB)| = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)). c) Với hai vectơ latex(vecu = (x_1; y_1; z_1)) và latex(vecv = (x_2; y_2; z_2)) khác vectơ latex(vec0), ta có: * latex(vecu) và latex(vecv) vuông góc với nhau khi và chỉ khi: latex(x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0) * latex(cos(vecu, vecv) = (vecu . vecv)/(|vecu| . |vecv|) = (x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2)/(sqrt(x_1^2 +y_1^2 + z_1^2) . sqrt(x_2^2 +y_2^2 + z_2^2)))
Ảnh
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ đô Oxyz, cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1) và C(2; 1; 1). a) Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng. b) Tính chu vi của tam giác ABC. c) Tính coslatex(angle(ABC)).
- Giải:
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 3
- Luyện tập 3:
Ảnh
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2; – 1; 1), B(1; – 1; 2) và C(3; 0; 2). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.
4. Cách tìm toạ độ của một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước
Cách tìm toạ độ của một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước
Ảnh
4. Cách tìm toạ độ của một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước
- HĐ4
Ảnh
- Hoạt động 4:
a) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), C'(1; 1; 1). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ vuông góc với cả hai vectơ latex(vec(AB)) và latex(vec(AD)). b) Cho hai vectơ latex(vecu = (x_1; y_1; z_1)) và latex(vecv = x_2; y_2; z_2)) không cùng phương. Xét vectơ latex(vecw(y_1z_2 - y_2z_1; z_1x_2 - z_2x_1; x_1y_2 - x_2y_1)) * Tính latex(vecw . vecu, vecw . vecv). * Vectơ latex(vecw) có vuông góc với cả hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv) hay không?
- Định lí
Ảnh
- Định lí:
Hình vẽ
Cho hai vectơ latex(vecu = (x_1; y_1; z_1)) và latex(vecv = (x_2; y_2; z_2)) không cùng phương. Khi đó, vectơ latex(vecw = (y_1z_2 - y_2z_1; z_1x_2 - z_2x_1; x_1y_2 - x_2y_1)) vuông góc với cả hai latex(vecu) và latex(vecv).
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai vectơ latex(vecu = (1; -2; 3)) và latex(vecv = (2; 0; -3)). Hãy chỉ ra toạ độ của một vectơ latex(vecw) khác latex(vec0) vuông góc với cả hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv).
- Giải:
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 4
- Luyện tập 4:
Ảnh
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ latex(vecu = (1; 0; -3)) và latex(vecv = (0; 0; 3)). Hãy chỉ ra toạ độ của một vectơ latex(vecw) khác latex(vec0) vuông góc với cả hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv).
5. Bài tập
Bài tập
Ảnh
5. Bài tập
Bài 1
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho latex(veca= (2; 3; -2)) và latex(vecb = (3; 1; -1)). Toạ độ của vectơ latex(veca - vecb) là
A. (1; – 2; 1).
B. (5; 4; – 3).
C. (– 1; 2; – 1).
D. (– 1; 2; – 3).
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho latex(veca = (2; -2; 1)), latex(vecb = (2; 1; 3)). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ latex(vecc) khác latex(vec0) vuông góc với cả hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) .
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(– 2; 3; 0), B(4; 0; 5), C(0; 2; – 3). a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tính chu vi tam giác ABC. c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. d) Tính coslatex(angle(BAC)).
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
Tổng kết:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành hết các bài tập trong SGK và SBT. Chuẩn bị bài sau: "Chương III. Bài 1. Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm".
Cảm ơn
Ảnh
Ảnh