CHƯƠNG II. BÀI 8. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
Ảnh
CHƯƠNG II. BÀI 8. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Những căn nhà gỗ trong Hình 2.47a được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác OAB.O'A'B' như trong Hình 2.47b. Với hệ trục tọa độ Oxyz thể hiện như Hình 2.47b (đơn vị đo lấy theo centimét), hai điểm A' và B' có tọa độ lần lượt là (240; 450; 0) và (120; 450; 300). Từ những thông tin trên, có thể tính được kích thước mỗi chiều của những căn nhà gỗ không?
Ảnh
1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ
Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ
Ảnh
1. BT tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ
- HĐ1
Ảnh
Hình vẽ
HĐ1: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ latex(veca = (1; 0; 5)) và latex(vecb = (1; 3; 9)). a) Biểu diễn hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) qua các vectơ đơn vị latex(veci, vecj, veck). b) Biểu diễn hai vectơ latex(veca + vecb) và latex(2veca) qua các vectơ đơn vị latex(veci, vecj, veck), từ đó xác định tọa độ của hai vectơ đó.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ latex(veca = (x; y; z)) và latex(vecb) = (x'; y'; z'). Ta có: * latex(veca + vecb) = (x + x'; y + y'; z + z'); * latex(veca - vecb) = (x - x'; y - y'; z - z'); * latex(kveca) = (kx; ky; kz) với k là một số thực.
- Câu hỏi
Ảnh
- Câu hỏi:
Nếu tọa độ của vectơ latex(veca) là (x; y; z) thì tọa độ của vectơ đối của latex(veca) là gì?
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Hình vẽ
Ảnh
Vectơ latex(veca) = (x; y; z) cùng phương với vectơ latex(vecb) = (x'; y'; z') latex(!= vec0) khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho:
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ latex(veca = (2; 1; 5)) và latex(vecb) = (2; 2; 1). Tìm toạ độ của mỗi vectơ sau: a) latex(veca - vecb); b) latex(3veca + 2vecb).
- Giải:
Hình vẽ
a) Vì latex(veca = (2; 1; 5)) và latex(vecb = (2; 2; 1)) nên latex(veca - vecb) = (2 - 2; 1 - 2; 5 - 1) = (0; -1; 4). b) Ta có latex(3veca = (3 . 2; 3 . 1; 3 . 5) = (6; 3; 15)) và latex(2vecb = (2 . 2; 2.2; 2.1) = (4; 4; 2)). Do đó latex(3veca + 2vecb = (6 + 4; 3 + 4; 15 + 2) = (10; 7; 17)).
Ảnh
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ latex(vecu = (1; 8; 6); vecv = (-1; 3; -2)) và latex(vecw = (0; 5; 4)). Tìm tọa độ của vectơ latex(vecu - 2vecv + vecw).
- HĐ2
Ảnh
Hình vẽ
HĐ2: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có latex(A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B)) và latex(C(x_C; y_C; z_C)). a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B. b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A, B, C.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng latex(A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B)) và latex(C(x_C; y_C; z_C)). Khi đó: * Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB là latex(((x_A + x_B)/2; (y_A + y_B)/2; (z_A + z_B)/2)); * Toạ độ trọng tâm của tam giác ABC là latex(((x_A + x_B + x_C)/3; (y_A + y_B + y_C)/3; (z_A + z_B + z_C)/3));
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(3; 2; 1) và C(2; -1; 5). Tìm toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
- Giải:
Hình vẽ
Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên toạ độ của điểm M là latex(((1 + 3)/2 ; (2 + 2)/2; (3 + 1)/2)) => M(2; 2; 2). Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên toạ độ của điểm G là latex(((1 + 3 + 2)/3; (2 + 2 + (-1))/3; (3 + 1 + 5)/3)) => G(2; 1; 3).
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 9; −1), B(9; 4; 5) và G(3; 0; 4). Tìm tọa độ điểm C sao cho latex(DeltaABC) nhận G là trọng tâm.
2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Ảnh
2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
- HĐ3
Ảnh
Hình vẽ
HĐ3: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ latex(veca = (x; y; z)) và latex(vecb) = (x'; y'; z'). a) Giải thích vì sao latex(veci . veci = 1) và latex(veci . vecj = veci . veck = 0). b) Sử dụng biểu diễn latex(veca = xveci + yvecj + zveck) để tính các tích vô hướng latex(veca . veci, veca . vecj) và latex(veca . veck) . c) Sử dụng biểu diễn latex(vecb) = x'latex(veci) + y'latex(vecj) + z'latex(veck) để tính tích vô hướng latex(veca . vecb) .
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ latex(veca = (x; y; z)) và latex(vecb) = (x'; y'; z') được xác định bởi công thức: latex(veca . vecb) = xx' + yy' + zz'.
- Nhận xét
Ảnh
Hình vẽ
- Nhận xét:
Hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu xx' + yy' + zz' = 0. * Nếu latex(veca = (x; y; z)) thì latex(|veca| = sqrt(veca . veca) = sqrt(x^2 + y^2 + z^2))). * Nếu latex(veca = (x; y; z)) và latex(vecb) = (x'; y'; z') là hai vectơ khác latex(vec0) thì:
Ảnh
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ latex(veca = (1; 4; 2)) và latex(vecb = (-4; 1; 0)). a) Tính latex(veca . vecb) và cho biết hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) có vuông góc với nhau hay không. b) Tính độ dài của vectơ latex(veca).
- Giải:
Hình vẽ
a) Ta có: latex(veca. vecb) = 1. (-4) + 4 . 1 + 2 . 0 = 0. Do đó, hai vectơ latex(veca) và latex(vecb) vuông góc với nhau. b) Độ dài của vectơ latex(veca) là latex(|veca| = sqrt(1^2 + 4^2 - 2^2) = sqrt21).
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Trong Ví dụ 3, tính latex((veca + vecb)^2).
- Ví dụ 4
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Giả sử SA = 2, AB = 3, AD = 4. Xét hệ toạ độ Oxyz với O trùng A và các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với cá tia AB, AD, AS (H.2.48). a) Xác định toạ độ của các điểm S, A, B, C, D. b) Tính BD và SC. c) Tính latex((vec(BD), vec(SC))).
+ Giải (- Ví dụ 4)
- Giải:
Hình vẽ
a) Vì A trùng gốc toạ độ nên A(0; 0; 0). Vì B thuộc tia Ox và AB = 3 nên B(3; 0; 0). Vì D thuộc tia Oy và AD = 4 nên D(0; 4; 0). Vì S thuộc tia Oz và AS = 2 nên S(0; 0; 2). Vì hình chiếu của C lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là B, D, A nên C(3; 4; 0). b) Ta có: latex(vec(BD) = (0 - 3; 4 - 0; 0 - 0) = (-3; 4; 0)) => latex(BD = |vec(BD)| = sqrt((-3)^2 + 4^2 + 0^2) = 5). Ta có: latex(vec(SC) = (3 - 0; 4 - 0; 0 - 2) = (3; 4; -2)) => latex(SC = |vec(SC)| = sqrt(3^2 + 4^2 + (-2)^2) = sqrt29). c) Ta có latex(cos(vec(BD), vec(SC)) = (vec(BD) . vec(SC))/(|vec(BD)| . |vec(SC)|) = ((-3) . 3 + 4.4 + 0 . (-2))/(5sqrt29) = 7/(5sqrt29)) => latex((vec(BD), vec(SC))~~ 74,9@).
- Chú ý
Ảnh
Hình vẽ
- Nhận xét:
Nếu latex(A(x_A; y_A; z_A)) và latex(B(x_B; y_B; z_B)) thì AB = latex(|vec(AB)| = sqrt((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2)). Đặc biệt, khi B trùng O ta nhận được công thức latex(OA = sqrt(x_A^2 + y_A^2 + z_A^2)).
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Trong không gian Oxyz, cho A(0; 2; 1), B(3; −2; 1) và C(−2; 5; 7). a) Tính chu vi của tam giác ABC. b) Tính latex(angle(BAC)).
3. Vận dụng tọa độ của vectơ trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn
Vận dụng tọa độ của vectơ trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn
Ảnh
3. Vận dụng tọa độ của vectơ trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn
- Ví dụ 5
Ảnh
Ví dụ 5: Trong không gian một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilomet), radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm A(800; 500; 7) đến điểm B(940; 550; 8) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì?
+ Giải (- Ví dụ 5)
- Giải:
Ảnh
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Với các giả thiết như trong Ví dụ 5, hãy xác định tọa độ của chiếc máy bay sau 10 phút tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B).
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.
- Giải:
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Trong tình huống mở đầu, hãy tính độ lớn của góc α.
- Ví dụ 7
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 7
Ảnh
- Luyện tập 7:
Trong Ví dụ 7, khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai ở xa điểm xuất phát hơn? Giải thích vì sao.
4. Bài tập
Bài tập
Ảnh
4. Bài tập
Bài 1
Ảnh
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ latex(veca = (3; 1; 2), vecb = (-3; 0; 4)) và latex(vecc = (6; -1; 0)). a) Tìm tọa độ của các vectơ latex(veca + vecb + vecc) và latex(2veca - 3vecb - 5vecc). b) Tính các tích vô hướng latex(veca . (-vecb)) và latex((2veca) . vecc) .
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 0; 1), B(0; −3; 1) và C(4; −1; 4). a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC. b) Chứng minh rằng latex(angle(BAC) = 90@). c) Tính latex(angle(ABC)).
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 3 m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (H.2.51). Hãy tìm tọa độ của điểm treo đèn.
Ảnh
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
DẶN DÒ:
Tổng hợp lại kiến thức vừa học. Hoàn thành bài tập trong SBT, SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương III. Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị".
Cảm ơn
Ảnh