CHƯƠNG V. BÀI 2. BIẾN CỐ HỢP VÀ BIẾN CỐ GIAO. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
Ảnh
TOÁN 11
CHƯƠNG V. BÀI 2. BIẾN CỐ HỢP VÀ BIẾN CỐ GIAO. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
Khởi động
Tình huống mở đầu
Tình huống mở đầu:
Ảnh
Ảnh
Theo dõi tình huống trong SGK và trả lời câu hỏi:
Trong biến cố A các “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn” là những số nào?. Trong biến cố B: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chia hết cho 3” là những số nào? Câu hỏi 2: Trong các số xuất hiện ở biến cố A số nào thỏa mãn điều kiện ở biến cố B ?.
I. Phép toán trên các biến cố
1. Biến cố hợp
HĐ1: Xét phép thử: "Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất một lần". Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử đó. Xét hai biến cố A và B nêu trong bài toán ở phần mở đầu. a) Viết các tập con A, B của TH tương ứng với các biến cố A, B. b) Đặt C = A latex(uu) B. Phát biểu biến cố C dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện.
I. Phép toán trên các biến cố
1. Biến cố hợp
Ảnh
- Định nghĩa
- Định nghĩa:
Ảnh
* Cho hai biến cố A và B . Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu latex(omega) . Đặt C = latex(A uu B), ta có C là một biến cố và được gọi là biến cố hợp của hai biến cố A và B. * Kí hiệu là latex(A uu B) .
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Xét một kết quả thuận lợi latex(alpha) cho biến cố C, tức là latex(alpha in C). Vì latex(C = A uu B) nên latex(alpha in A) hoặc latex(alpha in B). Nói cách khác, latex(alpha) là một kết quả thuận lợi cho biến cố A hoặc biến cố B. Điều đó có nghĩa là biến cố A hoặc biến cố B xảy ra. Vì vậy, biến cố C có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “A xảy ra hoặc B xảy ra ” hay “có ít nhất một trong các biến cố A, B xảy ra”.
- Ví dụ 1
Bài tập trắc nghiệm
Ví dụ 1: Trong hộp kín 10 quả bóng màu xanh và 8 quả bóng màu đỏ, các quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả bóng. Xét các biến cố: A: "Hai quả bóng lấy ra có màu xanh"; B: "Hai quả bóng lấy ra có màu đỏ". Chọn phát biểu đúng trong những phát biểu sau
Biến cố hợp của hai biến cố A và B là "Hai quả bóng lấy ra cùng có màu đỏ hoặc màu xanh".
Biến cố hợp của hai biến cố A và B là "Hai quả bóng lấy ra có màu khác nhau";
Biến cố hợp của hai biến cố A và B là "Hai quả bóng lấy ra có cùng màu".
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3,...,12; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3" và biến cố B: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4". Phát biểu biến cố A∪B dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện.
2. Biến cố giao
Ảnh
2. Biến cố giao
HĐ2: Đối với các tập hợp A, B trong HĐ1, ta đặt latex(D = A nn B). Phát biểu biến cố D dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
* Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu latex(Omega). Đặt latex(D = A nn B), ta có D là một biến cố và được gọi là biến cố giao của hai biến cố A và B. * Kí hiệu là latex(A nn B) hay AB.
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Xét một kết quả thuận lợi latex(beta) cho biến cố D, tức là latex(beta in D). Vì latex(D = A nn B) nên latex(beta in A) và latex(beta in B). Nói cách khác, latex(beta) là một kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố A và B. Điều đó có nghĩa là cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. Vì vậy, biến cố D có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “Cả A và B cùng xảy ra”.
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3,..., 52; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét hai biến cố A: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3" và biến cố B: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4". Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố A, B, latex(A nn B).
Ảnh
- Giải:
Ta có: A = {3; 6; 7; 12; 15; ...; 48; 51}; B = {4; 8; 12; 16; 20; ...; 48; 52}; latex(A nn B) = {12; 24; 36; 48}.
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 1:
Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố A: "Số chấm xuất hiện ở lần thứ nhất là số chẵn" và B: "Số chấm xuất hiện ở lần thứ hai là số lẻ" Phát biểu biến cố A∩B dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện.
3. Biến cố xung khắc
3. Biến cố xung khắc
HĐ3: Xét phép thử "Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp". Gọi Ω là không gian mẫu của phép thứ đó. Xét các biến cố: A: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số lẻ"; B: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số chẵn". a) Viết các tập con A, B của không gian Ω tương ứng với các biến cố A, B. b) Tìm tập hợp A∩B.
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu latex(Omega). Nếu latex(A nn B = ) thì A và B gọi là hai biến cố xung khắc.
latex(O/)
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố: A: "Đồng xu xuất hiện mặt S ở lần gieo thứ nhất"; B: "Đồng xu xuất hiện mặt N ở lần gieo thứ nhất". Hai biến cố trên có xung khắc hay không?
Ảnh
- Giải:
Ta thấy: A = {SS; SN}; B = {NS; NN}. Suy ra latex(A nn B) = . Do đó, A và B là hai biến cố xung khắc.
latex(O/)
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Hai biến cố sau có xung khắc hay không? A: "Tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 5". B: "Tổng số chấm trong hai lần gieo lớn hơn 6".
II. Biến cố độc lập
- Hoạt động 4
II. Biến cố độc lập
HĐ4: Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố: A: "Đồng xu xuất hiện mặt S ở lần tung thứ nhất" B: "Đồng xu xuất hiện mặt N ở lần tung thứ hai" Đối với hai biến cố A và B, cho biết một kết quả thuận lợi cho biến cố này có ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia không?
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Nếu A, B là hai biến cố độc lập thì mỗi cặp biến cố sau cũng độc lập: A và latex(barB); latex(barA) và B; latex(barA) và latex(barB).
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét các biến cố: A: " Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất"; B: "Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai". a) Hai biến cố A và B có độc lập không? Vì sao? b) Hai biến cố A và B có xung khắc không? Vì sao?
Ảnh
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4
Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố sau: A: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số nguyên tố" B: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai là hợp số" Hai biến cố A và B có độc lập không? Có xung khắc không? Vì sao
III. Các quy tắc tính xác suất
1. Công thức cộng xác suất
HĐ5: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không vượt quá 20. Xét biến cố A: "Số được chọn là số chia hết cho 2" và biến cố B: "Số được chọn là số chia hết cho 7". a) Tính P(A), P(B), P(A∪B), P(A∩B). b) So sánh P(latex(A uu B) và latex(P(A) + P(B) - P(A nn B)).
III. Các quy tắc tính xác suất
1. Công thức cộng xác suất
Ảnh
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Cho hai biến cố A và B. Khi đó: latex(P(A uu B) = P(A) + P(B) - P(A nn B)).
- Hệ quả
Ảnh
- Hệ quả:
Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì: latex(P(A uu B) =P(A) + P(B)) .
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương có hai chữ số. Xét biến cố A: "Số được viết ra là số chia hết cho 8" và biến cố B: "Số được viết ra là số chia hết cho 9". Tính latex(P(A uu B)).
Ảnh
Trong 90 số có hai chữ số, có 11 số chia hết cho 8, có 10 số chia hết cho 9 và 1 số chia hết cho cả 8 và 0. Vì thế, ta có: latex(P(A) = 11/90, P(B) = 10/90, P(A nn B) = 1/90). Vậy latex(P(A uu B) = P(A) + P(B) - P(A nn B) = 11/90 + 10/90 - 1/90 = 20/90 = 2/9).
- Giải:
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Một hộp có 12 chiếc thẻ, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, ..., 12; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3" và biến cố B: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 5". Tính latex(P(A uu B)).
Ảnh
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5
Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3,..., 52; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 7" và biến cố B: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 11". Tính P(A∪B)
2. Công thức nhân xác suất
Ảnh
2. Công thức nhân xác suất
HĐ6: Xét các biến cố độc lập A và B trong Ví dụ 4 a) Tính P(A),P(B),P(A∩B) b) So sánh P(A∩B) và P(A).P(B)
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Cho hai biến cố A và B. Nếu hai biến cố A và B là độc lập thì: latex(P(A nn B) = P(A) . P(B)). Chú ý: Nếu latex(P(A nn B) != P(A) . P(B)) thì hai biến cố A và B không độc lập.
- Ví dụ 7
Ví dụ 7: Hai bạn Hạnh và Hà cùng chơi trò chơi bắn cung một cách độc lập. Mỗi bạn chỉ bắn một lần. Xác suất để bạn Hạnh và bạn Hà bắn trúng bia lần lượt là 0,6 và 0,7 trong lần bắn của mình. Tính xác suất của biến cố C: "Bạn Hạnh và bạn Hà đều bắn trung bia".
Ảnh
Xét biến cố A: "Bạn Hạnh bắn trúng bia", ta có: P(A) = 0,6. Xét biến cố B: "Bạn Hà bắn trúng bia", ta có: P(B) = 0,7. Ta thấy A, B là hai biến cố độc lập và C = latex(A nn B). Suy ra: P(C) = P(A) . P(B) = 0,6 . 0,7 = 0,42
- Giải:
- Ví dụ 8
Ảnh
Ví dụ 8: Hai bạn Trung và Dũng của lớp 11A tham gia giải bóng bàn đơn nam do nhà trường tổ chức. Hai bạn đó không cùng thuộc một bảng đấu loại và mỗi bảng đấu loại chỉ chọn một người vào vòng chung kết. Xác xuất lọt qua vòng loại để vào vòng chung kết của Trung và Dũng lần lượt là 0,8 và 0,6. Tính xác suất của biến cố sau: a) A: " Cả hai bạn lọt vào vòng chung kết"; b) B: "Có ít nhất một bạn lọt vào vòng chung kết"; c) C: "Chỉ có bạn Trung lọt vào vòng chung kết".
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Một xưởng sản xuất có hai máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để máy I và máy II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,9. Tính xác suất của biến cố C: "Cả hai máy của xưởng sản suất đều chạy tốt".
IV. Tính xác suất của biến cố trong một số bài toán đơn giản
1. Tính xác suất của biến cố bằng phương pháp tổ hợp
IV. Tính xác suất của biến cố trong một số bài toán đơn giản xác suất
1. Tính xác suất của biến cố bằng phương pháp tổ hợp
Ảnh
Ví dụ 9: Một đội văn nghệ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên phụ trách đội muốn chọn ra một đội tốp ca gồm 3 học sinh sao cho có cả nam và nữ cùng tham gia. a) Giáo viên phụ trách đội có bao nhiêu cách chọn một đội tốp ca như vậy? b) Tính xác suất của biến cố H: "Trong 3 học sinh chọn ra có cả nam và nữ".
- Luyện tập 7
Ảnh
- Luyện tập 7:
Cho hai đường thẳng song song latex(d_1) và latex(d_2). Trên latex(d_1) lấy 17 điểm phân biệt, trên latex(d_2) lấy 20 điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm, tính xác suất để các điểm này tạo thành 3 đỉnh của một tam giác.
2. Tính xác suất của biến cố bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây
Ảnh
2. Tính XS của biến cố bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây
HĐ7: Để trang trí một tờ giấy có dạng hình chữ nhật, bạn Thùy chia tờ giấy đó thành bốn hình chữ nhật nhỏ bằng nhau. Mỗi hình chữ nhật nhỏ được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc vàng. Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng mà bạn Thùy có thể tô màu trang trí cho tờ giấy đó.
- Ví dụ 10
Ảnh
Ví dụ 10: Câu lạc bộ nghệ thuật của một trường học trung học phổ thông gồm học sinh của cả ba khối 10,11, 12, mỗi khối có 5 học sinh. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia biểu diễn. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn chỉ thuộc hai khối.
- Luyện tập 8
Ảnh
- Luyện tập 8:
Một hộp có 5 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đỏ và 7 viên bi màu vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp. Tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi màu đỏ bằng số bi màu vàng.
Bài tập
Bài 1 (Bài tập)
Ảnh
Bài 1: Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố: A: "Lần thứ nhất xuất hiện mặt ngửa" B: "Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa" C: "Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa" D: "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa" Trong hai biến cố C, D, biến cố nào là biến cố hợp của hai biến cố A, B? Biến cố nào là biến cố giao của hai biến cố A, B.
Bài 2 (Bài tập)
Ảnh
Bài 2: Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố: A: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất lớn hơn 4" B: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai nhỏ hơn 4" C: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất nhỏ hơn 4" Trong các biến cố trên, hãy: a) Tìm cặp biến cố xung khắc b) Tìm cặp biến cố độc lập
Bài 3 (Bài tập)
Ảnh
Bài 3: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Tính xác suất của biến cố M: "Số tự nhiên có hai chữ số được chọn chia hết cho 11 hoặc chia hết cho 12".
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành các bài còn lại trong SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương VI. Bài 1. Phép tính luỹ thừa với số mũ thực".
Dặn dò:
- Cảm ơn
Ảnh