Công ty Cổ phần Mạng giáo dục Bạch Kim - 27 Huỳnh Thúc Kháng, Đống Đa, Hà Nội
Trang bìa
Trang bìa:
TIẾT 27: BẤT ĐẲNG THỨC Bất đẳng thức cô- si
Định lí:
II. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI) 1. Bất đẳng thức cô - si a. Định lí Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng. Đẳng thức: latex(sqrt(ab) = (a b)/2) xảy ra khi và chỉ khi a = b Chứng minh bất đẳng thức cô-si:
II. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI) 1. Bất đẳng thức cô - si b. Chứng minh latex(AA a, b>=0) ta có: latex((sqrta)^2 - (sqrtb)^2>=0 rArr a - 2sqrt(ab) b>=0) latex(rArr 2sqrt(ab) <=a b rArr sqrt(ab)<=(a b)/2) Vậy: latex(sqrt(ab)<=(a b)/2), latex(AA a,b>=0) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: latex((sqrta^2 -sqrtb^2) = 0 hArr a = b Ví dụ 1:
II. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI) 1. Bất đẳng thức cô - si c. Ví dụ * Ví dụ 1 Cho hai số a, b> 0. Chứng minh rằng latex(a/b b/a>=2) Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương latex(a/b, b/a>0), ta có: latex(a/b b/a>=2sqrt((a)/(b).(b)/(a)) =2 hArr a/b b/a>=2 rArr) đpcm Ví dụ 2:
II. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI) 1. Bất đẳng thức cô - si c. Ví dụ * Ví dụ 2 Chứng minh rằng với a, b>0 thì latex((a b)(ab 1)>=4ab) Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a, b>0 ta có: latex(a b>=2sqrt(ab)) (1) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ab, 1>0 ta có: latex(ab 1>= 2sqrt(ab)) (2) Nhân (1) với (2) ta được: latex((a b)(ab 1)>= 4ab =>) đpcm Các hệ quả
Hệ quả 1:
II. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI) 2. Các hệ quả a. Hệ quả 1 Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2 Chứng minh latex(AAa>0) ta có: latex((sqrta - (1)/(sqrta))^2>=0 rArr a-2sqrta.(1)/(sqrta) 1/a>=0) latex(rArr a 1/a>=2) Vậy: latex(a 1/a>=2), latex(AA a>0) Hệ quả 2:
II. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI) 2. Các hệ quả b. Hệ quả 2 Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x=y Chứng minh Đặt S = x y. Áp dụng bđt cô-si ta có: latex(sqrt(xy)<=(x y)/2 = S/2) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:latex(x=y=S/2) Vậy tích xy đạt giá trị Max bằng latex((S^2)/4)Khi và chỉ khi: latex(x=y=S/2) Hệ quả 2_tiếp:
II. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI) 2. Các hệ quả b. Hệ quả 2 * Ý nghĩa hình học Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. Hệ quả 3:
II. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI) 2. Các hệ quả c. Hệ quả 3 Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x y nhỏ nhất khi và chỉ khi x=y * Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất. Diện tích =latex(16cm^2) Củng cố
Bài 1:
* Bài 1 Tìm x để f(x) = latex(x (4)/(x 1)) đạt giá trị nhỏ nhất với x> -1
A. x=1
B. x= 2
C. x =3
D. x=4
Bài 2:
* Bài 2 Tìm x để f(x)= (x 3)(5-x ) đạt giá trị lớn nhất với latex(-3<=x<=5)
A. x=5
B. x=4
C. x=3
D. x=2
Bài 3:
* Bài 3 Tìm x để f(x) = latex(x 3/x) đạt giá trị nhỏ nhất với x>0
A. x= latex(sqrt2)
B. x=latex(sqrt3)
C. x= 2
D. x= 1
Dặn dò và kết thúc
Dặn dò:
DẶN DÒ - Đọc kỹ lại bài đã học. - Làm bài tập 3 đến 4 sgk trang 79. - Đọc phần " Chỉ dẫn lịch sử" sgk trang 79. - Chuẩn bị trước bài mới. Kết thúc: