CHƯƠNG IX: BÀI 4: BA ĐƯỜNG CONIC TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG IX: BÀI 4: BA ĐƯỜNG CONIC TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Hoạt động khởi đầu
Hoạt động 1 (Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ)
Ảnh
Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng vuông góc với trục và không đi qua đỉnh của mặt nón thì ta thu đuợc một đường tròn (C). Nếu thay đổi vị trí của mặt phẳng, ta sẽ có thêm các loại "đường" khác như hình trên, các đường đó gọi là cacđường conic. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về đặc điểm của các "đường" này và cách viết phương trình của chúng trong mặt phẳng toạ độ.
1. Elip
Hoạt động khám phá 1 (Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ)
Ảnh
Lấy một tấm bìa, ghim hai cái đinh lên đó tại hai điểm latex( F_1) và latex(F_2). Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn hai lần đoạn latex(F_1)latex(F_2). Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường mà ta gọi là đường elip. Cho biết 2c là khoảng cách latex(F_1) latex(F_2) và 2a + 2c là độ dài của vòng dây Tính tổng hai khoảng cách latex(F_1)M và latex(F_2)M
Nhận biết elip
Hình vẽ
Cho hai điểm cố định latex(F_1),latex(F_2) và một độ dài không đổi 2a lớn hơn latex(F_1)latex(F_2). Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho latex(F_1)M + latex(F_2)M = 2a. Các điểm latex(F_1) và latex(F_2) gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài latex(F_1)latex(F_2) = 2c gọi là tiêu cự của elip (a >c).
Hoạt động khám phá 2 (Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ)
Ảnh
Cho elip (E) có các tiêu điểm latex(F_1) và latex(F_2) và đặt latex(F_1)latex(F_2) = 2c. Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho latex(F_1)(-c;0) và latex(F_2)(c;0).
Xét điểm M(x;y). a) Tính latex(F_1)M và latex(F_2)M theo x,y và c b) Giải thích phát biểu sau: M(x;y) ∈(E) ↔latex(sqrt((x+c)^2 + y^2)) + latex(sqrt((x-c)^2 + y^2))
Phuơng trình chính tắc của elip
Ảnh
Hình vẽ
M(x;y) ∈(E) ↔ latex(frac(x^2)(a^2)) + latex(frac(y^2)(b^2)) = 1
trong đó b = latex(sqrt(a^2 - c^2)) Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip
(1)
Chú ý: - (E) cắt Ox tại hai điểm latex(A_1)(-a;0), latex(A_2)(a;0) và cắt Oy tại hai điểm latex(B_1)(0;-b),latex(B_1)(0;-b). - Các điểm latex( A_1,A_2,B_1,B_2) gọi là các đỉnh của elip. - Đoạn thẳng latex(A_1A_2) gọi là trục lớn, đoạn thẳng latex(B_1B_2) gọi là trục nhỏ của elip. - Giao điểm O của hai trục gọi là tâm đối xứng của elip. - Nếu M(x;y) ∈(E) thì |x| latex(le) a |y| latex(le) b
Ví dụ 1
Ví dụ 1:
Viết phương trình chính tắc của elip(E) có độ dài hai trục lần lượt là 26 và 10.
Giải
Ta có: 2a = 26; 2b = 10, suy ra a = 13; b=5. Vậy phương trình chính tắc của (E) là latex((x^2)/169 + (y^2)/25) = 1.
Ví dụ 2
Ví dụ 2:
Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 20 và tiêu cự bằng 12.
Giải
Ta có: 2a = 20; 2c = 12, suy ra a = 10; c = 6 và b = latex(sqrt(a^2 -c^2)) = latex(sqrt(10^2 - 6^2)) = 8. Vậy phương trình chính tắc của elip là latex((x^2)/100 + (y^2)/64) = 1.
Bài tập 1
Bài tập 1:
Viết phương trình chính tắc của elip trong hình 4.
Ảnh
Ảnh
Một đường hầm có mặt cắt hình nửa elip cao 4m, rộng 10m (Hình 5). Viết phương trình chính tắc của elip đó.
2. Hypebol
Hoạt động khám phá 3
2. Hypebol
Hoạt động 3:
Lấy một tấm bìa, trên đó đánh dấu hai điểm latex(F_1 và F_2). Lấy một cây thước thẳng với mép thẳng AB có chiều dài d và một đoạn dây không đàn hồi có chiều dài l sao cho d - l = 2a nhỏ hơn khoảng cách latex(F_1F_2) (Hình 6a). Đính một đầu dây vào đầu A của thước, dùng đinh ghim đầu dây còn lại vào điểm latex(F_2). Đặt thước sao cho đầu B của thước trùng với điểm latex(F_1) và đoạn thẳng BA có thể quay quanh latex(F_1). Tựa đầu bút chì M vào đoạn dây, di chuyển M trên tấm bia giữ sao cho dây luôn căng, đoạn AM ép sát vào thước, khi đó M sẽ vạch ra trên tấm bìa một đường (H) (xem Hình 6b).
Hoạt động khám phá 3.1
a) Chứng tỏ rằng khi M di động, ta luôn có latex(MF_1 - MF_2) = 2a. b) Vẫn đính một đầu dây vào đầu A của thước nhưng đổi chỗ cố định đầu dây còn lại vào latex(F_1), đầu B của thước trùng với latex(F_2) sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh latex(F_2) và làm tương tự như lần đầu để bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường (H)(Hình 6c). Tính latex(MF_2 - MF_1).
Ảnh
Ảnh
Ảnh
Nhận biết hypebol
Hình vẽ
Cho hai điểm cố định latex(F_1,F_2) và một độ dài không đổi 2a nhỏ hơn latex(F_1F_2). Hypebol(H) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho |latex(F_1M - F_2M)| = 2a. Các điểm latex(F_1 và F_2) gọi là các tiêu điểm của hypebol. Độ dài latex(F_1F_2) = 2c gọi là tiêu cự của hypebol (c>a).
Họat động khám phá 4
Hoạt động 4:
Ảnh
Cho hypebol (H) có các tiêu điểm latex(F_1 và F_2) và đặt latex(F_1F_2) = 2c. Điểm M thuộc hypebol (H) khi và chỉ khi |latex(F_1M - F_2M)| = 2a. Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho latex(F_1) = (-c; 0) và latex(F_2) = (c; 0). Xét điểm M(x; y). a) Tính latex(F_1M và F_2M theo x,y và c. b) Giải thích phát biểu sau: M(x; y) ∈(H) ↔|latex(sqrt((x + c)^2 + y^2)) - latex(sqrt((x - c)^2 + y^2)| = 2a.
Phương trình chính tắc của hypebol
Phương trình chính tắc của hypebol
Người ta chứng minh được:
M(x; y) ∈ (H) ↔ latex((x^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2)) = 1 (2)
trong đó b = latex(sqrt(c^2 - a^2)). Phương trình (2) gọi là phương trình chính tắc của hypebol.
Chú ý
Chú ý:
- (H) cắt Ox tại hai điểm latex(A_1) = (-a; 0) và latex(A_2) = (a; 0). Nếu vẽ hai điểm latex(B_1) = (0; -b) và latex(B_2) = (0; b) vào hình chữ nhật latex(OA_2PB_2) thì OP = latex(sqrt(a^2 + b^2)) = c. - Các điểm latex(A_1,A_2) gọi là các đỉnh của hypebol. - Đoạn thẳng latex(A_1,A_2) gọi là trục thực, đoạn thẳng latex(B_1,B_2) gọi là trục ảo của hypebol. - Giao điểm O của hai trục là tâm đối xứng của hypebol. - Nếu M(x; y) ∈(H) thì x ≤ -a hoặc x ≥ a.
Ảnh
Ví dụ 3
Ví dụ 3:
Viết phương trình chính tắc của hypebol có độ dài thực bằng 16 và tiêu cự bằng 20.
Giải
Ta có: 2a = 16 → a = 8; 2c = 20 → c = 10; b = latex(sqrt(c^2 - a^2) = sqrt(10^2 - 8^2)) = 6. Vậy phương trình chính tắc của hypebol là latex((x^2)/64 - (y^2)/36) = 1.
Bài tập 2
Bài tập 2:
Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục áo bằng 6.
Bài tập áp dụng 2
Bài tập áp dụng 2:
Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là một hypebol có phương trình latex((x^2)/(27^2) - (y^2)/(40^2)) = 1 (Hình 9). Cho biết chiều cao của tháp là 120m và khoảng cách từ nóp tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng một nửa khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đấy của tháp.
Ảnh
3. Parabol
Hoạt động khám phá 5
3. Parabol
Hoạt động 5:
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm F (0;latex(1/2)), đường thẳng ∆: y + latex(1/2) = 0 và điểm M(x;y). Để tìm hệ thức giữa x và y sao cho M cách đều F và ∆, một học sinh đã làm như sau:
- Tính MF và MH (với H là hình chiếu của M lên ∆): MF = latex(sqrt(x^2 + (y - 1/2)^2)), MH = d(M;∆) = |y + latex(1/2)|. - Điều kiện để M cách dều F và ∆: MF = d(M;∆) ↔ latex(sqrt(x^2 + (y - 1/2)^2)) = |y + |latex(1/2)| ↔ latex(x^2 + (y - 1/2)^2) = latex((y + 1/2)^2) ↔ latex(x^2) = 2y ↔ y = latex(1/2x^2).(*) Hãy cho biết tên đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được.
Ảnh
Nhận biết parabol
Hình vẽ
Nhận biết parabol
Cho một điểm F và một đường thẳng ∆ cố định không đi qua F. Parabol (P) là tập hợp các điểm M cách đều F và ∆. F gọi là tiêu điểm và ∆ gọi là đường chuẩn của parabol (P).
Hoạt động khám phá 6
Hoạt động 6
Cho parabol (P) có tiêu điểm F là đường chuẩn ∆. Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên p>0. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F (latex(p/2;0)) và ∆: x + latex(p/2) = 0. Xét điểm M(x;y). a) Tính MF và d(M,∆). b) Giải thích phát biểu sau: M(x;y) ∈ (P) ↔ latex(sqrt((x - p/2)^2 + y^2)) = |x + latex(p/2)|.
Ảnh
Phương trình chính tắc của parabol
Phương trình chính tắc của parabol
M(x;y) ∈ (P) ↔ latex(y^2) = 2px. (3)
Phương trình (3) gọi là phương trình chính tắc của parabol.
Chú ý:
O gọi là đỉnh của parabol (P). Ox gọi là trục đối xứng của parabol (P). p gọi là tham số tiêu của parabol (P). Nếu M(x;y) ∈ (P) thì x ≥ 0 và M'(x; -y) ∈(P).
Ví dụ 4
Ví dụ 4:
Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có tiêu điểm F(latex(3/2);0)
Giải
(P) có tiêu điểm F (latex(3/2);0), suy ra latex(p/2) = latex(3/2) hay p = 3. Vậy (P) có phương trình latex(y^2) = 6x.
Ảnh
Ví dụ 5
Ví dụ 5:
Cổng của một ngôi trường có dạng một parabol. Để đo chiều dài h của cổng, một người đo khoảng cách giữa hai chn cổng được 9m, người đó thấy nếu đứng cách cổng 0,5m thì đầu chạm cổng. Cho biết người này cao 1,6m, hãy tính chiều cao của cổng.
Ảnh
Ảnh
giải ví dụ 5
Ta vẽ lại parabol và chọn hệ trục tọa độ như hình 14. Gọi phương trình của parabol là latex(y^2) = 2px. Ta có chiều cao của cổng là OH = BK = h, bề rộng của cổng là BD = 9, suy ra BH = 4,5. Vậy điểm B có tọa độ là (h; 4,5). Chiều cao của người đo là AC = 1,6 và khoảng cách từ chân người đo đến chân cổng là BA = 0,5. Suy ra FC = EA - AC = h - 1,6 và EC = BH - AB = 4,5 - 0,5 = 4. Vậy điểm C có tọa độ là (h - 1,6; 4).
Ta có hai điểm B và C nằm trên parabol nên thay tọa độ B và C vào phương trình (P) ta được:
Ảnh
Bài tập 3
Bài tập 3:
Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn ∆: x + 1 = 0.
Bài tập áp dụng 3
Bài tập áp dụng 3:
Một cổng chào có hình parabol cao 10m và bể rộng của cổng tại chân cổng là 5m. Tính bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2m.
Luyện tập
Bài 1
Bài kiểm tra tổng hợp
Viết phương trình chính tắc của:
a) Elip có trục lớn bằng 20 và trục nhỏ bằng 16 - (E): latex((x^2)/100 - (y^2)/65) = 1 - false - (E): latex((x^2)/100 - (y^2)/64) = 1 - true - (E): latex((x^2)/100 - (y^2)/63) = 1 - false - (E): latex((x^2)/100 - (y^2)/62) = 1 - false - false - false
b) Hypebol có tiêu cự 2c = 20 và độ dài trục thực 2a = 12 - (H): latex((x^2)/36 - (y^2)/64) = 1 - true - (H): latex((x^2)/46 - (y^2)/65) = 1 - false - (H): latex((x^2)/36 - (y^2)/46) = 1 - false - (H): latex((x^2)/46 - (y^2)/56) = 1 - false - false - false
c) Parabol có tiêu điểm F(latex(1/2);0) - (P): latex(y^2) = 2x - true - (P): latex(y^2) = 3x - false - (P): latex(y^2) = latex(2x^2) - false - (P): latex(y^2) = latex(3x^2) - false - false - false
Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
DẶN DÒ
Học thuộc các công thức trong bài. Làm bài tập trong SGK và SBT. Đọc lại các bài đã học để chuẩn bị cho ôn tập cuối chương IX.