CHƯƠNG 5. BÀI 2. TRUNG VỊ VÀ TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
Trang bìa
Trang bìa
CHƯƠNG 5. BÀI 2. TRUNG VỊ VÀ TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
TOÁN 11
Ảnh
Khởi động
Khởi động
Hình vẽ
Khởi động
Biểu đồ bên thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của các vận động viên hai đội bóng rổ Sao La và Kim Ngưu. Hãy so sánh chiều cao của các vận động viên hai đội bóng theo số trung bình và trung vị.
Ảnh
I - Trung vị
Hoạt động 1
I - Trung vị
1. Hoạt động 1
a) Sử dụng biểu đồ ở phần khởi động, hoàn thiện bảng thống kê sau:
Ảnh
b) Tìm các nhóm chứa giá trị trung vị chiều cao thành viên mỗi đội.
Ảnh
Công thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Ảnh
Hình vẽ
2. Công thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
• Gọi n là cỡ mẫu • Giả sử nhóm [LATEX(u_m); LATEX(u_(m+1))) chứa trung vị • LATEX(n_m) là tần số của nhóm chưa trung vị • C = LATEX(n_1)+ LATEX(n_2)+...+LATEX(n_(m-1)) Khi đó: LATEX(M_e) = LATEX(u_m)+ LATEX((n/2- C)/(n_m)) . (LATEX(u_(m+1)) - LATEX(u_m))
Ví dụ 1
3. Ví dụ 1
Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả bơ ở một lô hàng cho trong bảng sau:
Ảnh
Hãy tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Giải
Gọi LATEX(x_1), LATEX(x_2),..., LATEX(x_25) là cân nặng của 25 quả bơ xếp theo thứ tự không giảm. Do LATEX(x_1)∈[150; 155); LATEX(x_2),..., LATEX(x_8)∈ [155; 160); LATEX(x_9),..., LATEX(x_20)∈[160; 165) nên trung vị của mẫu số liệu LATEX(x_1); LATEX(x_2);...; LATEX(x_25) là LATEX(x_13)∈[160; 165). Ta xác định được n = 25, n = 12, C = 1 + 7 = 8, LATEX(u_m) = 160, LATEX(u_(m+1)) = 165. Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là LATEX(M_e) = 160+ LATEX((25/2- 8)/12) . (165 - 160 ) = 161,875
Ví dụ 2
4. Ví dụ 2
Trong tuần lễ bảo vệ môi trường, các học sinh khối 11 tiến hành thu nhặt vỏ chai nhựa để tái chế. Nhà trường thống kê kết quả thu nhặt vỏ chai của học sinh khối 11 ở bảng sau:
Ảnh
Hãy tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Giải
Do số vỏ chai là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau:
Ảnh
Số học sinh tham gia thu nhặt vỏ chai nhựa là: n = 53 + 82 + 48 + 39 + 18 = 240.
Ảnh
Giải
Gọi LATEX(x_1), LATEX(x_2),..., LATEX(x_240) lần lượt là số vỏ chai 240 học sinh khối 11 thu nhặt được xếp theo thứ tự không giảm. Do LATEX(x_1),..., LATEX(x_53) ∈ [10,5; 15,5); LATEX(x_54), ..., LATEX(x_135) ∈ [15,5; 20,5) nên trung vị của mẫu số liệu LATEX(x_1), LATEX(x_2), ..., LATEX(x_240) là LATEX(1/2)(LATEX(x_120) + LATEX(x_121)) ∈ [15,5; 20,5). Ta xác định được n = 240, LATEX(n_m) = 82, C = 53, LATEX(u_m) = 15,5, LATEX(n_(m+1)) = 20,5. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: LATEX(M_e) = 15,5 + LATEX((240/2 - 53)/82) . (20,5 - 15,5 )≈19,59
Ý nghĩa của trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Ảnh
5. Ý nghĩa của trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Từ dữ liệu ghép nhóm nói chung không thể xác định chính xác trung vị của mẫu số liệu gốc. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho mẫu số liệu gốc và có thể lấy làm giá trị đại diện cho mẫu số liệu.
Vận dung 1
6. Vận dụng 1
Trong một hội thao, thời gian chạy 200 m của một nhóm các vận động viên được ghi lại trong bảng sau:
Ảnh
Dựa vào bảng số liệu trên, ban tổ chứ muốn chọn ra khoảng 50% số vận động viên chạy nhanh nhất để tiếp tục thi vòng 2. Ban tổ chức nên chọn các vận động viên có thời gian chạy không quá bao nhiêu giây?
Ảnh
Giải
Tổng số vận động viên n = 5 + 12 + 32 + 45 + 30 = 124. Gọi LATEX(x_1), LATEX(x_2),..., LATEX(x_124) lần lượt là thời gian chạy của 124 vận động viên tham gia hội thao được xếp theo thứ tự không giảm Ta có LATEX(x_1),..., LATEX(x_5)∈[21; 21,5); LATEX(x_6),..., LATEX(x_17)∈ [21,5;22); LATEX(x_18),..., LATEX(x_49) ∈ [22; 22,5); LATEX(x_50),..., LATEX(x_94)∈ [22,5; 23); LATEX(x_95),..., LATEX(x_124)∈[23;23,5); Số trung vị của dãy số liệu là: LATEX(1/2)(LATEX(x_62)+ LATEX(x_63)) Mà LATEX(x_62); LATEX(x_63) ∈ [23;23,5) do đó: LATEX(M_e) = 22,5 + LATEX((124/2- 49)/45) . (23 - 22,5) ≈ 22,6
II - Tứ phân vị
Hoạt động 2
II - Tứ phân vị
1. Hoạt động 2
Thời gian luyện tập trong một ngày (tính theo giờ) của một số vận động viên được ghi lại ở bảng sau:
Ảnh
Huấn luyện viên muốn xác định nhóm gồm 25% các vận động viên có số giờ luyện tập cao nhất. Hỏi huấn luyện viên nên chọn các vận động viên có thời gian luyện tập từ bao nhiêu giờ trở lên vào nhóm này?
Ảnh
Ảnh
Giải
Số vận động viên được khảo sát là: n = 3 + 8 + 12 + 12 + 4 = 39. Gọi LATEX(x_1); LATEX(x_2); ...; LATEX(x_39) là thời gian luyện tập của 39 vận động viên được xếp theo thứ tự không giảm. Ta có: LATEX(x_1); LATEX(x_2); LATEX(x_3)∈ [0; 2), x4; ...; LATEX(x_11)∈ [2; 4), LATEX(x_12); ...; LATEX(x_23)∈ [4; 6), LATEX(x_24); ...; LATEX(x_35)∈ [6; 8), LATEX(x_36); ...; LATEX(x_39)∈ [8; 10). Do đó đối với dãy số liệu LATEX(x_1); LATEX(x_2); ...; LATEX(x_39) thì: - Tứ phân vị thứ nhất là LATEX(x_10) thuộc nhóm [2; 4); - Tứ phân vị thứ hai là LATEX(x_20) thuộc nhóm [4; 6); - Tứ phân vị thứ ba là LATEX(x_30) thuộc nhóm [6; 8). Vậy huấn luyện viên nên chọn các vận động viên có thời gian luyện tập từ LATEX(x_30) (giờ) trở lên
Công thức xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Hình vẽ
2. Công thức xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu LATEX(Q_2), cũng chính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm. Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu LATEX(Q_2), ta thực hiện như sau: • Giả sử nhóm [LATEX(u_m), LATEX(u_(m+1))) chứa tứ phân vị thứ nhất • LATEX(n_m) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất • C = LATEX(n_1)+ LATEX(n_2)+ ...+LATEX(n_(m-1)) Khi đó: LATEX(M_e) = LATEX(u_m)+ LATEX((n/4- C)/(n_m)) . (LATEX(u_(m+1)) - LATEX(u_m))
Ảnh
Hình vẽ
Tương tự, để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu LATEX(Q_3) ta thực hiện như sau: • Giả sử nhóm [LATEX(u_j), LATEX(u_(j+1))) chứa tứ phân vị thứ ba • LATEX(n_j) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba • C = LATEX(n_1)+ LATEX(n_2)+ ...+LATEX(n_(j-1)) Khi đó: LATEX(Q_e) = LATEX(u_j)+ LATEX(((3n)/4- C)/(n_j)) . (LATEX(u_(j+1)) - LATEX(u_j))
Ví dụ 3
3. Ví dụ 3
Hãy xác định các tứ phân vị của mẫu số liệu trong Hoạt động 2
Giải
Nhắc lại: LATEX(x_1)≤ LATEX(x_2) ≤ ... ≤ LATEX(x_39) là thời gian luyện tập của 39 VĐV Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu LATEX(x_1); LATEX(x_2); ...; LATEX(x_39) là LATEX(x_20)∈ [4; 6). Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là LATEX(Q_2) = 4 + LATEX(((2.39)/4 - (3+8))/12) . (6-4) ≈ 5,417. Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu LATEX(x_1); LATEX(x_2); ...; LATEX(x_39) là LATEX(x_10)∈ [2; 4). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là LATEX(Q_1) = 2 + LATEX(((1.39)/4 - 3)/12) . (4-2) ≈ 3,6875. Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu LATEX(x_1); LATEX(x_2); ...; LATEX(x_39) là LATEX(x_30)∈ [6; 8). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là LATEX(Q_3) = 6 + LATEX(((3.39)/4 - (3+8+12))/12) . (8-6) ≈ 7,042.
Chú ý
Hình vẽ
4. Chú ý
Nếu tứ phân vị thứ k là LATEX(1/2) (LATEX(x_m) + LATEX(x_(m+1)), trong đó LATEX(x_m) và LATEX(x_(m+1)) thuộc hai nhóm liên tiếp, ví dụ như x∈ [LATEX(x_(j-1)), LATEX(x_j)) và LATEX(x_(m+1))∈ [LATEX(u_j), LATEX(u_(j+1)) thì ta lấy LATEX(Q_k) = LATEX(u_j)
Ý nghĩa của tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
5. Ý nghĩa của tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
- Ba điểm tứ phân vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm thành bốn phần đều nhau. Giống như với trung vị, nói chung không thể xác định chính xác các điểm tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm. - Bộ ba tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và được sử dụng làm giá trị đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu. Tứ phân vị thứ nhất và thứ ba đo xu thế trung tâm của nửa dưới (các dữ liệu nhỏ hơn LATEX(Q_2) và nửa trên (các dữ liệu lớn hơn LATEX(Q_2))của mẫu số liệu.
Thực hành 1
7. Thực hành 1
Một người thống kê lại thời gian thực hiện các cuộc gọi điện thoại của người đó trong một tuần ở bảng sau:
Ảnh
Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Ảnh
Giải
Tổng số cuộc gọi điện thoại là: 8 + 10 + 7 + 5 + 2 + 1 = 33 (cuộc gọi). Gọi LATEX(x_1); LATEX(x_2); ...; LATEX(x_33) là số thời gian thực hiện cuộc gọi điện thoại sắp xếp theo thứ tự không giảm. Ta có: LATEX(x_1); ...; LATEX(x_8) ∈ [0; 60), LATEX(x_9); ...; LATEX(x_18) ∈ [60; 120), LATEX(x_19); ...; LATEX(x_25) ∈ [120; 180), LATEX(x_26); ...; LATEX(x_30) ∈ [180; 240), LATEX(x_31); LATEX(x_32) ∈ [240; 300), LATEX(x_33) ∈ [300; 360). Khi đó: - Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu LATEX(x_1); LATEX(x_2); LATEX(x_3); ...; LATEX(x_33) là LATEX(x_17). Vì LATEX(x_17) ∈ [60; 120) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là: LATEX(Q_2) = 60 + LATEX((33/2-8)/10) . (120 - 60) = 111
III - Bài tập
Bài 1
II - Bài tập
1. Lương tháng của một số nhân viên một văn phòng được ghi lại như sau (đơn vị: triệu đồng):
Ảnh
a) Tìm tứ phân vị của dãy số liệu trên b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau
Ảnh
c) Hãy ước lượng tứ phân vị của số liệu ở bảng tần số ghép nhóm trên.
Bài 2
2. Số điểm một cầu thủ bóng rổ ghi được trong 20 trận đấu được cho ở bảng sau:
Ảnh
a) Tìm tứ phân vị của dãy số liệu trên. b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
Ảnh
c) Hãy ước lượng tứ phân vị của số liệu từ bảng tần số ghép nhóm trên.
Bài 3
3. Kiểm tra điện lượng của một số viên pin tiểu do một hãng sản xuất thu được kết quả sau:
Ảnh
Hãy ước lượng số trung bình, mốt và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Bài 4
4. Cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc hai giống A và B được cho ở biểu đồ dưới đây (đơn vị: kg).
Ảnh
a) Hãy so sánh cân nặng của lợn con mới sinh giống A và giống B theo số trung bình và trung vị. b) Hãy ước lượng tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của cân nặng lợn con mới sinh giống A và của cân nặng lợn con mới sinh giống B
IV - Dặn dò
Dặn dò
Ảnh
IV - Dặn dò
- Hoàn thành bài tập trong phần III - Bài tập - Làm bài tập ôn tập cuối chương V
Ảnh
Kết thúc
Ảnh