CHƯƠNG I. BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG I. BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
TOÁN 12
Khởi động
- Khởi động
- Khởi động:
Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí s(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức s(t) = latex(t^3 – 9t^2 + 15t), t ≥ 0. Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?
Ảnh
1. Tính đơn điệu của hàm số
Tính đơn điệu của hàm số
Ảnh
1. Tính đơn điệu của hàm số
a. Khái niệm tính đơn điệu của hàm số
Ảnh
Hình vẽ
a. Khái niệm tính đơn điệu của hàm số
Ảnh
HĐ1: Quan sát đồ thị của hàm số latex(y = x^2) (H.1.2)
a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào? b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm số xác định trên K.
* Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên K nếu latex( AAx_1, x_2 in K, x_1 < x_2 => f(x_1) < f(x_2)). * Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên K nếu latex( AAx_1, x_2 in K, x_1 < x_2 => f(x_1) > f(x_2)).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Nếu HS đồng biến trên K thì ĐT của HS đi lên từ trái sang phải. Nếu HS nghịch biến trên K thì ĐT của HS đi xuống từ trái sang phải.
HS đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của HS còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu của HS. Khi xét tính đơn điệu của HS mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên TXĐ của HS đó.
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Hình 1.4 là đồ thị hàm số y = f(x) = |x|. Hãy tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Giải:
TXĐ: R Từ đồ thị suy ra: Hàm số số đồng biến trên khoảng latex((0; +oo)), nghịch biến trên khoảng latex((-oo; 0)).
Ảnh
- Luyện tập 1
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 1:
Hình 1.5 là đồ thị của HS y = latex(x^3 - 3x^2 + 2). Hãy tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Ảnh
- HĐ2
Ảnh
Hình vẽ
a. Khái niệm tính đơn điệu của hàm số
a) Xét dấu đạo hàm của HS trên các khoảng latex((-oo; -1), (1; +oo)). Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng này. b) Có nhận xét gì về đạo hàm y’ của hàm số y trên khoảng (-1; 1)?
HĐ2: Xét hàm số:
Ảnh
Ảnh
có đồ thị như H.1.6.
- Kết luận 2
Ảnh
- Kết luận 2:
Ảnh
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K. a) Nếu f'(x) > 0 với mọi latex(x in K) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng K. b) Nếu f'(x) < 0 với mọi latex(x in K) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng K.
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Ảnh
* Nếu f'(x) latex(>=) 0 (f'(x) latex(<= 0)) với mọi latex(x in K) và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng K. * Nếu f'(x) = 0 với mọi latex(x in K) thì hàm số f(x) không đổi trên khoảng K.
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số latex(y = x^2 - 4x +2).
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
TXĐ: R. Ta có: y' = 2x - 4; y' > 0 với latex(x in (2; +oo)); y ' < 0 với latex(x in (-oo; 2)). Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng latex((2; +oo)), nghịch biến trên khoảng latex((-oo; 2)).
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số latex(y = -x^2 + 2x + 3).
b. Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn điệu của hàm số
Ảnh
Hình vẽ
b. Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn điệu của hàm số
HĐ3: Cho hàm số latex(y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1).a) Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm x mà f'(x) = 0. b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng. c) Nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Ảnh
Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x): B1: Tìm tập xác định của hàm số. B2: Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm latex(x_i(i = 1, 2,...)) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. B3: Sắp xếp các điểm latex(x_i) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số. B4: Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số latex(y = (x^2 - 2x+ 5)/(x- 1)).
- Giải:
TXĐ: R\ {1}. Ta có: y' = latex((2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 5)/((x - 1)^2) = (x^2 - 2x - 3)/((x - 1)^2)); y' = 0 <=> x = -1 hoặc x = 3. Lập bảng biến thiên của hàm số:
Ảnh
Hàm số đồng biến trên các khoảng latex((-oo; -1)) và latex((3; +oo)). Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-1; 1) và (1; 3).
- Luyện tập 3
- Luyện tập 3:
Ảnh
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) latex(y = 1/3 x^3 + 3x^2 + 5x + 2); b) y = latex((-x^2 + 5x - 7)/(x - 2)).
- Vận dụng 1
- Vận dụng 1
Ảnh
Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau: a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc v(t) là đạo hàm của s(t). Hãy tìm vận tốc v(t). b) Xét dấu của hàm v(t), từ đó suy ra câu trả lời.
2. Cực trị của hàm số
Cực trị của hàm số
Ảnh
2. Cực trị của hàm số
a. Khái niệm cực trị của hàm số
Hình vẽ
a. Khái niệm cực trị của hàm số
HĐ4: Quan sát đồ thị của hàm số latex(y = x^3 + 3x^2 - 4) (H.1.7). Xét dấu đạo hàm của HS đã cho và hoàn thành các bảng sau vào vở:
Ảnh
Ảnh
Ảnh
- Định nghĩa
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (a có thể là -latex(oo), b có thể là latex(+oo)) và điểm latex(x_0 in (a; b)).
* Nếu tồn tồn số h > 0 sao cho latex(f(x) < f(x_0)) với latex(AAx in (x_0 - h; x_0 + h ) sub (a; b)) và latex(x!= x_0) thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại latex(x_0). * Nếu tồn tồn số h > 0 sao cho latex(f(x)> f(x_0)) với latex(AAx in (x_0 - h; x_0 + h ) sub (a; b)) và latex(x!= x_0) thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại latex(x_0).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Ảnh
- Ví dụ 4
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
Từ đồ thị hàm số, ta có: Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và latex(y_(CT) = y(-1) = 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và latex(y_(CĐ) = y(0) = 3). Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và latex(y_(CT) = y(1) = 2).
Ví dụ 4: Hình 1.8 là đồ thị của hàm số y = f(x). Hãy tìm các cực trị của hàm số.
- Luyện tập 4
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 4:
Hình 1.9 là đồ thị của hàm số y = f(x). Hãy tìm các cực trị của hàm số.
Ảnh
b. Cách tìm cực trị của hàm số
b. Cách tìm cực trị của hàm số
Ảnh
Hình vẽ
HĐ5: Cho hàm số latex(y = 1/3x^3 - 3x^2 + 8x +1) a) Tính đạo hàm f'(x) và và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f'(x) bằng 0. b) Lập bảng biến thiên của hàm số. c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm latex(x_0) và có đạo hàm trên khoảng latex((a; x_0)) và latex(x_0; b)). Khi đó: a) Nếu f'(x) < 0 với latex(AAx in (a; x_0)) và f'(x) > 0 với latex(AAx in (x_0; b)) thì latex(x_0) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). b) Nếu f'(x) > 0 với latex(AAx in (a; x_0)) và f'(x) < 0 với latex(AAx in (x_0; b)) thì latex(x_0) là một điểm cực đại của hàm số f(x).
- Câu hỏi
Ảnh
- Câu hỏi:
Giải thích vì sao nếu f’(x) không đổi dấu qua latex(x_0) thì latex(x_0) không phải là điểm cực trị của hàm số f(x)?
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Ảnh
Các bước tìm cực trị của hàm số y = f(x): 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f'(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại. 3. Lập bảng biến thiên của hàm số. 4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.
- Ví dụ 5
- Giải:
Tập xác định của hàm số là R. Ta có: y' = latex(3x^2 - 12x + 9); y' = 0 latex(<=>) x = 1 hoặc x = 3. Lập bảng biến thiên của hàm số:
Ví dụ 5: Tìm cực trị của hàm số latex(y = x^3 - 6x^2 + 9x + 30).
Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và latex(y_(CĐ) = y(1) = 34). Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và latex(y_(CT) = y(1) = 30).
Ảnh
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Ảnh
Nếu f'latex((x_0)) = 0 nhưng f'(x) không đổi dấu khi x qua latex(x_0) thì latex(x_0) không phải là điểm cực trị của hàm số.
- Ví dụ 6
- Giải:
TXĐ: R\{2}. Ta có: y' = latex(((2x - 2)(x -2) - (x^2 - 2x + 9))/((x - 2)^2) = (x^2 - 4x - 5)/((x - 2)^2)); y' = 0 latex(<=>) x = 1 hoặc x = 5. Lập bảng biên thiên của hàm số:
Ví dụ 6: Tìm cực trị của hàm số y = latex((x^2 - 2x + 9)/(x - 2)).
Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và latex(y_(CĐ) = y(-1) = -4). Hàm số đạt cực tiểu tại x = 5 và latex(y_(CT) = y(5) = 8).
Ảnh
- Luyện tập 5
- Luyện tập 5:
Ảnh
Tìm cực trị của các hàm số sau: a) latex(y= x^4 - 3x^2 + 1); b) latex(y = (-x^2 + 2x - 1)/(x + 2)).
- Vận dụng 2
- Vận dụng 2:
Ảnh
Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2m với vận tốc ban đầu là 24,5m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức: latex(h(t) = 2 + 24,5t - 4,9t^2) . Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
Bài 1
Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau: a) ĐT HS y = latex(x^3 - 3/2x^2) (H.1.11); b) ĐT HS y = latex(root3 ((x^2 - 4)^2)) (H.1.12);
Ảnh
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau: a) latex(y = 1/3x^3 - 2x^2 + 3x + 1); b) latex(y = -x^3 + 2x^2 - 5x + 3);
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) latex(y = sqrt(4 - x^2)); b) latex(y = x/(x^2 + 1)).
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
DẶN DÒ:
Tổng hợp lại kiến thức vừa học. Hoàn thành bài tập trong SBT, SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương I. Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số".
Cảm ơn
Ảnh