CHƯƠNG V. BÀI 14. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG V. BÀI 14. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
Ảnh
- Mở đầu:
Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm t, vật thể ở vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost). Hỏi vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?
1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng
Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng
Ảnh
1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng
- HĐ1
Hình vẽ
Ảnh
HĐ1: Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật phản lực pháp tuyến latex(vecn), giá của vectơ latex(vecn) vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì latex(vecn) có phương gì? (H.5.1).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Vectơ latex(vecn != vec0) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng latex(alpha) nếu giá của latex(vecn) vuông góc với latex(alpha).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Hình vẽ
Ảnh
* Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó. * Nếu latex(vecn) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng latex((alpha)) thì latex(kvecn) (với k là một số khác 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của latex((alpha)).
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (H.5.3). Trong các khẳng định sau, những khẳng định nào đúng?
a) latex(vec(A A))' và latex(2vec(BB))' đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD). b) latex(vec(BD)) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ACC'A'). c) latex(vec(AC))' là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).
'
Ảnh
+ Giải (- Ví dụ 1)
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
Vì các đường thẳng AA', BB' vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên latex(vec(A A))', latex(2vec(BB))' đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD). Đường thẳng BD vuông góc với hai đường thẳng AC và AA' nên vuông góc với mặt phẳng (ACC'A'). Vậy latex(vec(BD)) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ACC'A'). Đường thẳng A'C' không vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên vectơ latex(vec(AC))' không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Vậy các khẳng định a và b là đúng, khẳng định c là sai.
'
- Luyện tâp 1
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 1:
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; −2; 3), B(−3; 0; 1). Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).
- HĐ2
Ảnh
Hình vẽ
HĐ2: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ latex(vecu = (a; b; c)) và latex(vecv) = (a'; b'; c'). a) Vectơ latex(vecn) = (bc' - b'c; ca' - c'a; ab' - a'b) có vuông góc với cả hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv) hay không? b) latex(vecn = vec0) khi và chỉ khi latex(vecu) và latex(vecv) có mối quan hệ gì?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ latex(vecu = (a; b; c)) và latex(vecv) = (a'; b'; c'). Khi đó vectơ latex(vecn) = (bc' - b'c; ca' - c'a; ab' - a'b) vuông góc với cả hai vectơ latex(vecu) và latex(vecv), được gọi là tích có hướng của latex(vecu) và latex(vecv), kí hiệu là latex([vecu, vecv]).
Ảnh
- Chú ý
- Chú ý:
Ảnh
Ảnh
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho latex(vecu = (1; -2; 0)) và latex(vecv = (3; 1; -4)). Tính latex([vecu, vecv]).
- Giải:
Hình vẽ
Ảnh
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Trong không gian Oxyz, cho latex(vecu = (2; 3; 1)) và latex(vecv = (4; 6; 2)). Tính latex([vecu, vecv]).
- HĐ3
Ảnh
Hình vẽ
HĐ3: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ latex(vecu, vecv) không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P). a) Vectơ latex([vecu, vecv]) có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của latex(vecu, vecv) hay không? b) Mặt phẳng (P) có nhận latex([vecu, vecv]) làm một vectơ pháp tuyến hay không?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
* Trong không gian Oxyz, hai vectơ latex(vecu, vecv) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P). * Nếu latex(vecu, vecv) là cặp vectơ chỉ phương của (P) thì latex([vecu, vecv]) là một vectơ pháp tuyến của (P).
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho các vectơ latex(vecu = (2; -1; 0)), latex(vecv = (1; -1; 2)). Gọi latex((alpha)) là mặt phẳng song song với các giá của latex(vecu, vecv). Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của latex(alpha).
- Giải:
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(1; −2; 1), B(−2; 1; 0), C(−2; 3; 2). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
- Vận dụng 1
- Vận dụng 1:
Ảnh
Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực latex(vecF) để vặn con ốc ở vị trí O (H.5.6) thì moment lực latex(vecM) được tính bởi công thức latex(vecM = [vec(OP), vecF]). a) Cho latex(vec(OP) = (x; y z), vecF = (a; b; c)). Tính latex(vecM). b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động latex(vecF) trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P' sao cho latex(vec(OP))' = latex(2vec(OP)) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Ảnh
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
- HĐ4
Ảnh
Hình vẽ
HĐ4: Trong không gian Oxyz, cho MP (α). Gọi latex(vecn = (A; B; C)) là một VTPT của (α) và latex(M_0(x_0; y_0; z_0)) là một điểm thuộc (α). a) Một điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi hai vectơ latex(vecn) và latex(vec(M_0M)) có mối quan hệ gì? b) Điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Hình vẽ
Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) xác định một mặt phẳng nhận latex(vecn = (A; B; C)) làm một vectơ pháp tuyến.
- Ví dụ 4
Ảnh
- Giải:
Hình vẽ
Trong các phương trình trên, chỉ có phương trình y + 1 = 0 có dạng Ax + By + Cz + D = 0 và thoả mãn A, B, C không đồng thời bằng 0 (A = 0, B = 1, C = 0). Vì vậy, trong các phương trình trên, chỉ có phương trình y + 1 = 0 là phương trình mặt phẳng.
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng? a) latex(x + 2y - 3z^2 + 1 = 0); b) latex(1/x + 2/y + 3/z + 2 = 0); c) y + 1 = 0.
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng? a) latex(x^2 + 2y^2 + 3z^2 – 1 = 0); b) latex(x/2 - y - z/3 + 5 = 0); c) latex(xy + 5 = 0).
- Ví dụ 5
Ảnh
- Giải:
a) Mặt phẳng latex((alpha)) nhận latex(vecn = (1; 2; -1)) làm một vectơ pháp tuyến. b) Do latex(vecm = 2vecn) mà latex(vecn) là VTPT của latex((alpha)) nên latex(vecm) cũng là VTPT của latex((alpha)). c) Ta cần kiểm tra xem trong hai điểm A(1; 3; 2), B(1; 1; 4), điểm nào có toạ độ thoả mãn phương trình mặt phẳng latex((alpha)). Do latex(1 + 2 . 3 - 2 + 1 != 0) và latex(1 + 2 . 1 - 4 + 1 = 0) nên trong hai điểm A, B chỉ có toạ độ điểm B thoả mãn phương trình mặt phẳng latex((alpha)). Vậy điểm B thuộc mặt phẳng latex((alpha)), điểm A không thuộc mặt phẳng latex((alpha)).
Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho MP latex((alpha)): x + 2y - z + 1 = 0. a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của latex((alpha)). b) Vectơ latex(vecm = (2; 4; -2)) có là vectơ pháp tuyến của latex((alpha)) hay không? c) Trong hai điểm A(1; 3; 2), B(1; 1; 4), điểm nào thuộc MP latex((alpha))?
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α): x + 2 = 0. a) Điểm A(−2; 1; 0) có thuộc (α) hay không? b) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).
3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng
Ảnh
3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng
- HĐ5
Ảnh
Hình vẽ
HĐ5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm latex(M_0(x_0; y_0; z_0)) và có vectơ pháp tuyến latex(vecn = (A; B; C)). Dựa vào Hoạt động 4, hãy nêu phương trình của (α).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng latex(alpha) đi qua điểm latex(M_0(x_0; y_0; z_0)) và có vectơ pháp tuyến latex(vecn = (A; B; C)) thì có phương trình là: latex(A(x-x_0) + B(y - y_0)+ C(z - z_0) = 0 <=> Ax + By + Cz + D = 0), với D = latex(-(Ax_0 + By_0 + Cz_0)).
- Ví dụ 6
Ảnh
- Giải:
Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng latex((alpha)) đi qua điểm M(2; -1; 0) và có vectơ pháp tuyến latex(vecn = (3; -4; 6)).
Hình vẽ
Mặt phẳng latex((alpha)) có phương trình là: 3(x - 2) - 4[y - (-1)] + 6(z - 0) = 0 latex(<=>) 3x - 4y + 6z - 10 = 0.
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; −4) và vuông góc với trục Oz.
- HĐ6
Ảnh
Hình vẽ
HĐ6: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm latex(M(x_0; y_0; z_0)) và biết cặp vectơ chỉ phương latex(vecu = (a; b; c)), latex(vecv) = (a'; b'; c'). a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α). b) Viết phương trình mặt phẳng (α).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương latex(vecu, vecv) có thể thực hiện theo các bước sau: * Tìm vectơ pháp tuyến latex(vecn = [vecu, vecv]). * Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến latex(vecn).
- Ví dụ 7
Ảnh
- Giải:
Ảnh
Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' với A(1; 2; 3), B(4; 3; 5), C(2; 3; 2), A'(1; 1; 1). Viết PT MP (A'B'C').
Hình vẽ
Mặt phẳng (A'B'C') nhận latex(vec(AB) = (3; 1; 2)), latex(vec(AC) = (1; 1; -1)) làm cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là: latex(vecn = [vec(AB), vec(AC)] = (-3; 5; 2)). Mặt phẳng (A'B'C') đi qua A'(1; 1; -1) và nhận latex(vecn = (-3; 5; 2)) làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình: -3(x - 1) + 5(y - 1) + 2(z - 1) = 0 latex(<=>) 3x - 5y - 2z + 4 = 0.
- Luyện tập 7
Ảnh
- Luyện tập 7:
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; −2; −1), B(4; 1; 2), C(2; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; −2; −1) đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC.
- HĐ7
Ảnh
Hình vẽ
HĐ7: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng: A(1; 2; 3), B(−1; 3; 4), C(2; −1; 2). a) Hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC). b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau: * Tìm cặp vectơ chỉ phương latex(vec(AB), vec(AC)). * Tìm vectơ pháp tuyến latex(vecn = [vec(AB), vec(AC)]). * Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và có vectơ pháp tuyến latex(vecn).
- Ví dụ 8
Ảnh
Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho A(2; 1; -1), B(3; 2; 1), C(3; 1; 4). a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
a) Hai vectơ latex(vec(AB) = (1; 1; 2), vec(AC) = (1; 0; 5)) không cùng phương nêu ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương latex(vec(AB) = (1; 1; 2)), latex(vec(AC) = (1; 0; 5)) nên có vectơ pháp tuyến latex(vecn = [vec(AB), vec(AC)] = (5; -3; -1)). Mặt phẳng (ABC) đi qua A(2; 1; -1) và có VTPT latex(vecn = (5; -3 -1)) nên có phương trình: 5(x - 2) - 3(y - 1) - 1(z + 1) = 0 latex(<=>) 5x - 3y - z - 8 = 0.
- Giải:
- Luyện tập 8
Ảnh
- Luyện tập 8:
(H.5.8) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) không đi qua gốc tọa độ và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c ≠ 0).
Chứng minh rằng mặt phẳng (α) có PT: latex(x/a + y/b + z/c = 1).
- Vận dụng 2
Ảnh
- Vận dụng 2:
Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra. a) Xác định tọa độ của vị trí latex(M_1, M_2, M_3) của vật tương ứng với các thời điểm t = 0, latex(t = pi/2), t = π. b) Chứng minh rằng latex(M_1, M_2, M_3) không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng latex((M_1M_2M_3)). c) Vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost) có luôn thuộc mặt phẳng latex((M_1M_2M_3)) hay không?
4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau
Ảnh
4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau
- HĐ8
Ảnh
Hình vẽ
HĐ8: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α): Ax + By + Cz + D = 0, (β): A'x + B'y + C'z + D' = 0, với hai VTPT latex(vecn = (A; B; C)), latex(vecn)' = (A'; B'; C') tương ứng. a) Góc giữa hai mặt phẳng (α), (β) và góc giữa hai giá của latex(vecn,vecn)' có mối quan hệ gì? b) Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến tương ứng latex(vecn, vecn)' có mối quan hệ gì?
- Kết luận
Ảnh
Ảnh
- Kết luận:
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Hình vẽ
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng kia.
- Ví dụ 9
Ảnh
Ví dụ 9: Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai mặt phẳng sau vuông góc nhau: latex((alpha)): x - 3y + 2z + 1 = 0, latex((beta)): 5x + y - z + 2 = 0.
- Giải:
Hình vẽ
Hai mặt phẳng latex((alpha), (beta)) có vectơ pháp tuyến tương ứng là latex(vecn = (1; -3; 2), vecn)' = (5; 1; -1). Ta có: latex(vecn . vecn)' = 1 . 5 + (-3) . 1 + 2 . (-1) = 0 nên latex(vecn _|_ vecn)'. Do đó latex((alpha)) vuông góc với latex((beta)).
- Luyện tập 9
Ảnh
- Luyện tập 9:
Trong không gian Oxyz, hai mặt phẳng sau đây có vuông góc với nhau hay không? (α): 3x + y – z + 1 = 0, (β): 9x + 3y – 3z + 3 = 0.
- Vận dụng 3
Ảnh
- Vận dụng 3:
(H.5.10) Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), B(2; 3; 0), latex(C(0; 2sqrt2; 0)). Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn. a) Viết PT bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó. b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.
Ảnh
5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau
Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau
Ảnh
5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau
- HĐ9
Ảnh
Hình vẽ
HĐ9: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α): Ax + By + Cz + D = 0, (β): A'x + B'y + C'x + D' = 0, với các vectơ pháp tuyến latex(vecn = (A; B; C)), latex(vecn)' = (A'; B'; C'). Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song hoặc trùng nhau thì các vectơ pháp tuyến latex(vecn, vecn)' có mối quan hệ gì?
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Hình vẽ
Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia. Hai mặt phẳng latex((alpha)) và latex((beta)) trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại số k khác 0 sao cho: A' = kA, B' = kB, C' = kC, D' = kD.
- Ví dụ 10
Ảnh
Ví dụ 10: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: latex((alpha): 3x - y + z + sqrt2 = 0) và latex((beta): 3sqrt2 - sqrt2y +sqrt2z + 1 = 0)
- Giải:
Hình vẽ
Các mặt phẳng trên có vectơ pháp tuyến tương ứng là latex(vecn_alpha = (3; -1; 1), vecn_beta = (3sqrt2; -sqrt2; sqrt2)). Do latex(vecn_beta - sqrt2 . vecn_alpha) và latex(1!=sqrt2 . sqrt2) nên hai mặt phẳng latex((alpha)) và latex((beta)) song song với nhau.
- Luyện tập 10
Ảnh
- Luyện tập 10:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α): 5x + 2y – 4z + 6 = 0 và (β): 10x + 4y – 2z + 12 = 0. a) Hỏi (α) và (β) có song song với nhau hay không? b) Chứng minh rằng điểm M(1; −3; 5) không thuộc mặt phẳng (α) nhưng thuộc mặt phẳng (β). c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1; −3; 5) và song song với (α).
- Vận dụng 4
Ảnh
- Vận dụng 4:
Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Văn, Tiếng Anh. Trong không gian Oxyz, người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của thí sinh đó. a) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình x + y + z – 27 = 0.
+ tiếp
- Vận dụng 4:
b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.
Ảnh
6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Ảnh
6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
- HĐ10
Ảnh
HĐ10: Trong không gian Oxyz, cho điểm latex(M(x_0; y_0; z_0)) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến latex(vecn (A; B; C)). Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) (H.5.13). a) Giải thích vì sao tồn tại số k để latex(vec(MN) = kvecn). Tính tọa độ của N theo k, tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. b) Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. c) Từ latex(|vec(MN)| = |k||vecn|), hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm latex(M(x_0; y_0; z_0)) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là: latex(d(M, (P)) = (|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|)/(sqrt(A^2 + B^2 + C^2)))
- Ví dụ 11
Ảnh
Ví dụ 11: Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; -1) đến mặt phẳng (P): x + 2y - 2z + 5 = 0.
- Giải:
Hình vẽ
Khoảng cách từ điểm M(1; 2; -1) đến mặt phẳng (P): x + 2y - 2z + 5 = 0 là: latex(d(M, (P)) = (|1 + 2 . 2 - 2 . (-1) + 5|)/(sqrt(1^2 + 2^2 + (-2)^2)) = 4).
- Luyện tập 11
Ảnh
- Luyện tập 11:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 3y + z + 2 = 0 và (Q): x + 3y + z + 5 = 0. a) Chứng minh rằng (P) và (Q) song song với nhau. b) Lấy một điểm thuộc (P), tính khoảng cách từ điểm đó đến (Q). Từ đó tính khoảng cách giữa hai MP (P) và (Q).
- Vận dụng 5
Ảnh
- Vận dụng 5:
(H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là 115°. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 3 = 0. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Ảnh
7. Bài tập
Bài tập
Ảnh
7. Bài tập
Bài 1
Ảnh
Hình vẽ
Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; −1) và vuông góc với trục Ox.
Bài 2
Ảnh
Hình vẽ
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0, (Q): x + y + z + 6 = 0. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Bài 3
Bài 3: Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?
Ảnh
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
DẶN DÒ:
Tổng hợp lại kiến thức vừa học. Hoàn thành bài tập trong SBT, SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương V. Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian".
Cảm ơn
Ảnh