Công ty Cổ phần Mạng giáo dục Bạch Kim - 27 Huỳnh Thúc Kháng, Đống Đa, Hà Nội
Trang bìa
Trang bìa:
TIẾT 29: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (MỤC I. II) Vecto pháp tuyến của mặt phẳng
Véctơ pháp tuyến:
I. VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG 1. Định nghĩa Vectơ latex(n !=0) gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của latex(vecn) vuông góc với mặt phẳng latex(alpha) * Chú ý: Nếu latex(vecn) là VTPT của mp (α) thì latex(k.vecn(k!=0)) cũng là VTPT của mp (α) latex(vecn=(A; B; C)) là VTPT của mp (α) thì latex(A^2 B^2 C^2 >0 Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết 1 điểm và 1 VTPT Hai vectơ latex(veca, vecb) không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (α) thì mp (α) có 1 VTPT là latex(vecn=[vecavecb]) Bài toán:
I. VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG 2. Bài toán Trong kg Oxyz cho mp (α) đi qua điểm latex(M_0(x_0;y_0;z_0)) và nhận vectơ latex(vecn=(A;B;C)) làm làm VTPT. CMR: Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z) thuộc mp (α) là: latex(A(x-x_0) B(y-y_0) C(z-z_0))=0 Giải latex(vec(M_0M) = (x-x_0;y-y_0;z-z_0) latex(M in (alpha) hArr M_0M sub(alpha) latex(hArr vec(M_0M) _|_vecn)) latex(hArr vecn.vec(M_0M) = 0 latex(A(x-x_0) B(x-x_0) C(z-z_0) = 0) (1) D = latex(-(Ax_0 By_0 Cz_0)) (1) latex(hArr) Ax By Cz D = 0) (2) latex(A^2 B^2 C^2 >0). Khi đó pt(2) được gọi là PTTQ của mp (α) Phương trình mặt phẳng
Bài toán 1:
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG * Bài toán 1 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng latex(alpha) đi qua điểm latex(M_0(x_0;y_0;z_0) và nhận latex(vecn(A;B;C)) làm vectơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để điểm M (x;y;z) thuộc mặt phẳng latex((alpha)) là: latex(A(x – x_0) B(y – y_0) C (z – z_0)) = 0 Giải Ta có: latex(vec(M_0M) = (x-x_0;y-y_0;z-z_0) latex(M in (alpha) hArr M_0M in (alpha) latex(hArr vecn_|_vec(M_0M) hArr vecn.vec(M_0M) =0) latex(A(x-x_0) B(y - y_0) C(z - z_0) = 0 Bài toán 2:
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG * Bài toán 2 Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x; y; z) thõa mãn phương trình: Ax By Cz D = 0 (trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0) là một mặt phẳng nhận vectơ latex(vecn(A;B;C))làm vectơ pháp tuyến. Giải Ta lấy điểm latex(M_0=(x_0;y_0;z_0)) sao cho latex(Ax_0 By_0 Cz_0 =0) và latex(A!=0) Thì ta thấy latex(x_0 = -(D)/(A); y_0 = z_0 = 0) Gọi (α) là mp đi qua latex(M_0) và nhận latex(vecn=(A;B;C)) làm vectơ pháp tuyến Ta có: latex(M in (alpha) hArr A(x - x_0) B(y-y_0) C(z-z_0) latex(hArr Ax By Cz (Ax_0 By_0 Cz_0) = 0 hArr Ax By Cz D=0) Trong đó D = latex(Ax_0 By_0 Cz_0) Định nghĩa:
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1. Định nghĩa Phương trình có dạng: Ax By Cz D = 0, trong đó A , B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. * Nhận xét Nếu mp latex((alpha)) có phương trình tổng quát là Ax By Cz D = 0 thì nó có một vectơ pháp tuyến là: latex(vecn(A;B;C)) Phương trình mp đi qua latex(M_0(x_0; y_0; z_0)) nhận vectơ latex(vecn(A;B;C)!=0) làm vectơ pháp tuyến là: latex( A(x – x_0) B(y – y_0) C(z – z_0))= 0 Hoạt động 2, hoạt động 3:
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG * Hoạt động 2 Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của mp: 4x – 2y – 6z 7 = 0 Giải Vectơ pháp tuyến latex(vecn(4;-2;-6)) * Hoạt động 3 Lập phương trình tổng quát của mp(MNP) với M(1;1;1), N(4;3;2), P(5;2;1) Giải Phương trình mp đi qua M; N; P thỏa mãn: Vậy có: x - 4y 5 z - 2 = 0 Các trường hợp riêng
Trường hợp nếu D=0:
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 2. Các trường hợp riêng Trong không gian 0xyz cho mp latex((alpha)): Ax By Cz D = 0 (1) a. Nếu D = 0 Thì gốc tọa độ O có tọa độ thỏa mãn phương trình của mặt phẳng (α). Vậy (α) đi qua gốc tọa độ O. Nếu một trong 3 hệ số A, B, C bằng 0 :
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 2. Các trường hợp riêng Trong không gian 0xyz cho mp latex((alpha)): Ax By Cz D = 0 (1) b. Nếu một trong 3 hệ số A, B, C bằng 0 ví dụ A = 0 Thì mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến latex(vecn(0;B;C)) Ta có latex(vecn.veci=0) là vectơ chỉ phương của Ox, nên suy ra (α) song song hoặc chứa trục Ox. Nếu 2 trong 3 hệ số A , B , C bằng 0 :
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 2. Các trường hợp riêng Trong không gian 0xyz cho mp latex((alpha)): Ax By Cz D = 0 (1) c. Nếu 2 trong 3 hệ số A , B , C bằng 0. Ví dụ A = B = 0 và C ≠ 0 thì suy ra (α) song song hoặc chứa trục Ox; Oy. Vậy (α) song song hoặc trùng mp(Oxy) Nếu A = C = 0 và B ≠ 0 hoặc B = C = 0 và A ≠ 0 thì mp (α) có đặc điểm gì? Nhận xét:
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 2. Các trường hợp riêng Trong không gian 0xyz cho mp latex((alpha)): Ax By Cz D = 0 (1) * Nhận xét Nếu các hệ số A, B, C, D đều khác 0 thì bằng cách đặt latex(a = -(D)/(A); b=-(D)/(B); c = -(D)/(C)). Thì đưa phương trình (1) về dạng: Khi đó mặt phẳng (α) cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm có tọa độ (a; 0;0); (0;b;0) và (0;0;c) Củng cố
Bài 1:
Bài 1 Trong không gian Oxyz cho 3 điểm M(1;0;0), N(0;2;0), P(0;0;3). Hãy viết phương trình mặt phẳng (MNP). Giải Áp dụng phương trình mp đoạn chắn có: latex(x/1 y/1 z/3=1) Hay 6x 3y 2z -6 =0 Bài 2:
Bài 2 Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm: A(-3;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-1) Giải Áp dụng công thức: latex(x/a y/b z/c) =1. Thay số vào ta có: latex(x/(-3) y/(-2) z/(-1) =1 hArr 2x 3y 6z 6 = 0 Bài 3:
Bài 3 Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình Giải a. Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng là latex(vec(n_P) = (1;-2;3) a. Hãy viết vectơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng trên? b. Em có nhận xét gì về vectơ pháp tuyến của chúng? latex(vec(n_Q) = (2;-4;6) b. Ta thấy latex(vec(n_Q) = 2vec(n_P) Dặn dò và kết thúc
Dặn dò:
DẶN DÒ - Đọc kỹ và làm lại các bài đã học - Làm bài tập 1 và 2 sgk trang 80. - Chuẩn bị trước bài mới. Kết thúc: