CHƯƠNG V. BÀI 17. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG V. BÀI 17. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
Ảnh
- Khởi động:
Bằng ứng dụng Google Maps, thực hiện phép đo khoảng cách trên bề mặt Trái Đất từ vị trí 10°N, 15°E đến vị trí 80°N, 70°E ta sẽ được khoảng cách 8271,74 km (H.5.40). Cơ sở toán học cho việc thiết lập phần mềm tính công thức khoảng cách trên bề mặt Trái Đất là gì?
1. Phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu
Ảnh
1. Phương trình mặt cầu
- HĐ1
Ảnh
Hình vẽ
HĐ1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) bán kính R (H.5.41). Khi đó, một điểm M(x; y; z) thuộc mặt cầu (S) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn điều kiện gì?
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình: latex((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Hình vẽ
Điểm M(x; y; z) nằm trong mặt cầu (S) nếu: latex((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 < R^2) Điểm M(x; y; z) nằm ngoài mặt cầu (S) nếu: latex((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 > R^2)
- Ví dụ 1
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: latex((x - 1)^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 5) a) Xác định tâm và bán kính của (S). b) Hỏi gốc toạ độ O(0; 0) nằm trong, nằm ngoài hay thu mặt cầu (S)?
- Giải:
a) Ta viết lại phương trình của mặt cầu (S) dưới dạng: latex((x - 1)^2 + [y - (-3)]^2 + (z - 0)^2 = (sqrt5)^2). Vậy mặt cầu (S) có tâm I(1; -3; 0) và bán kính R = latex(sqrt5). b) Ta có latex(OI^2 = (0 - 1)^2 + (0 + 3)^2 + (0 - 0)^2 = 10 > 5 = R^2). Do đó, gốc toạ độ O(0; 0) nằm ngoài mặt cầu (S).
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có PT: latex((x + 2)^2 + y^2 + (z + 1/2)^2 = 9/4). a) Xác định tâm và bán kính của (S). b) Hỏi điểm M(2; 0; 1) nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu (S).
- Ví dụ 2
Ảnh
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau: a) Tâm latex(I(3/2; 0; -3)), bán kính latex(R = 9/4). b) Đường kính AB, với A(1; 2; 1) và B(3; 1; 5).
- Giải:
a) Mặt cầu (S) có tâm latex(I(3/2; 0; -3)) và có bán kính latex(R = 9/4) nên có PT: latex((x - 3/2)^2 + (y - 0)^2 + (z + 3)^2 = (9/4)^2) hay (S): latex((x - 3/2)^2 + y^2 + (z + 3)^2 = 81/16). b) Đoạn thẳng AB có trung điểm là latex(J(2; 3/2; 3)). Mặt cầu (S) có tâm J và bán kính R = latex(1/2 AB = 1/2 sqrt((3 - 1)^2 + (1 - 2)^2 + (5 - 1)^2) = sqrt21/2). Do đó (S): latex((x - 2)^2 + (y - 3/2)^2 + (z - 3)^2 = 21/4).
- Luyện tâp 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau: a) Tâm là gốc tọa độ, bán kính R = 1. b) Đường kính AB, với A(1; −1; 2), B(2; −3; −1).
- Ví dụ 3
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm M(x; y; z) có toạ độ thoả mãn PT: latex(x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z - 2 = 0). Chứng minh rằng (S) là một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
- Giải:
Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng: (S): latex(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + (z^2 - 6z + 9) = 16) hay (S): latex((x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 4^2). Vậy (S) là mặt cầu có tâm I(1; -2; 3) và bán kính R = 4.
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm M(x; y; z) có tọa độ thỏa mãn phương trình (S): latex(x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 6y – 12 = 0). Chứng minh rằng (S) là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.
- Nhận xét
Ảnh
- Nhận xét:
Hình vẽ
Với a, b, c, d là các hằng số, phương trình latex(x^2 + y^2 + z^2 - 2ax -2by - 2cz + d = 0) có thể viết lại thành: latex((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - d) và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi latex(a^2 + b^2 + c^2 - d > 0). Khi đó, (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính latex(R = sqrt(a^2 + b^2 + c^2 - d)).
- Ví dụ 4
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ứng với phương trình đó. a) latex(x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 3y - 8z + 100 = 0). b) latex(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 5y - 2z - 3/4 = 0). c) latex(x^2 + y^2 + z^2 - 2xy + 6y - 9z + 10 = 0).
- Mẫu:
a) Phương trình đã cho tương ứng với a = 1, latex(b = -3/2), c = 4, d = 100. Trong TH này: latex(a^2 + b^2 + c^2 - d = 1 + 9/4 + 16 - 100 < 0). Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có PT: latex(x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 5y + 6z + 25/4 = 0). Xác định tâm, tính bán kính của (S).
2. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn
Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn
Ảnh
2. Một số ứng dụng của PT mặt cầu trong thực tiễn
- Ví dụ 5
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 5: Biết rằng nếu vị trí M có vĩ độ và kinh độ tương ứng là latex(alpha@N, beta@E (0 < alpha < 90, 0 < beta < 90)) thì có toạ độ M latex((cosalpha@cosbeta@; cosalpha@sinbeta@; sinalpha@)). Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí P: latex(10@N, 15@E) đến vị trí latex(Q: 80@N,70@E).
+ Giải (+ Giải)
Ảnh
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí B: 45°N, 30°E.
- Trải nghiệm
Ảnh
- Trải nghiệm:
Trên Google Maps, thực hiện phép đo khoảng cách từ vị trí 0°N, 0°E đến vị trí 45°N, 30°E và so sánh với kết quả tính được ở luyện tập 5.
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
Bài 1
Ảnh
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: latex((x - 1/2)^2 + (y +1)^2 + z^2 = 9). Xác định tâm và bán kính của (S).
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó. a) latex(x^2 + y^2 + z^2 – 2x – 5z + 30 = 0); b) latex(x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 2y – 2z = 0); c) latex(x^3 + y^3 + z^3 – 2x + 6y – 9z – 10 = 0); d) latex(x^2 + y^2 + z^2 + 5 = 0).
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Trong không gian Oxyz, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí A(2; 0; 0). Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 1.Hỏi vị trí M(2; 1; 1) có thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên hay không?
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
DẶN DÒ:
Tổng hợp lại kiến thức vừa học. Hoàn thành bài tập trong SBT, SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương VI. Bài 18. Xác suất có điều kiện".
Cảm ơn
Ảnh