CHƯƠNG II. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN HỌC 8
CHƯƠNG II. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Khởi động
Khởi động
Ảnh
Khởi động:
Phép chia đa thức P cho đa thức Q khác đa thức 0 được viết dưới dạng latex(P/Q). Vậy biểu thức latex(P/Q) được gọi là gì?
I. Khái niệm về phân thức đại số
1. Định nghĩa (I. Khái niệm về phân thức đại số)
Ảnh
1. Khái niệm
HĐ1: Cho biểu thức latex((2x+1)/(x-2)). a. Biểu thức 2x + 1 tử có phải là đa thức hay không? b. Biểu thức x - 2 ở mẫu có phải là đa thức khác đa thức 0 hay không?
- Kết luận
Ảnh
Ảnh
- Kết luận:
Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng latex(P/Q), trong đó P, Q là những đa thức và Q khác đa thức 0. P được gọi là tử thức (hay tử), Q được gọi là mẫu thức (hay mẫu).
- Ví dụ 1
Bài tập trắc nghiệm
Ví dụ 1: Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức? Giải thích.
a. latex((2x+1)/(x+1))
b. latex((xy)/(x+2y))
c. latex((1/x)/(x^2+1))
- Luyện tập
Ảnh
- Luyện tập:
Câu 1: Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức? a. latex((x^2y+xy^2)/(x-y)); b) latex((x^2-2)/(1/x))
2. Hai phân thức bằng nhau
Ảnh
2. Hai phân thức bằng nhau
HĐ2: Cho hai phân số latex(a/b) và latex(c/d). Nêu quy tắc để hai phân số đó bằng nhau.
- Kết luận
Ảnh
Ảnh
- Kết luận:
Cho hai phân thức latex(A/B) và latex(A/C). Hai phân thức latex(A/B) và latex(A/C) được gọi là bằng nhau, viết là latex(A/B = C/D) nếu A.D = B.C
- Ví dụ 2
- Ví dụ 2:
Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Vì sao? a) latex(x/5) và latex((x^2-x)/(5x-5)) b) latex((3+x)/(3+2x)) và latex(1/2)
Ảnh
Giải:
a) Ta có: latex(x.(5x-5)=5x^2-5x) và latex(5(x^2-x)=5x^2-5x) nên latex(x(5x-5)=5(x^2-x)). Vậy latex(x/5=(x^2-x)/(5x-5)) b) Ta có: (3 + x).2 = 6 + 2x và (3 + 2x).1 = 3 + 2x. Do latex(6 + 2x != 3 + 2x) nên hai phân thức latex((3+x)/(3+2x)) và latex(1/2) không bằng nhau.
???
- Luyện tập
Ảnh
- Luyện tập:
Câu 2: Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Vì sao? a) latex((x+y)/(x^2-y^2)) và latex(1/(x-y)); b) latex(x/(x^2-1)) và latex(1/(x-1)).
II. Tính chất cơ bản của phân thức
1. Tính chất cơ bản (II. Tính chất cơ bản của phân thức)
1. Tính chất cơ bản
HĐ3: a) Tìm số thích hợp cho ô trống sau:
Ảnh
2
Hình vẽ
-7
=
4
Hình vẽ
Hình vẽ
;
-3
Hình vẽ
-9
=
Hình vẽ
Hình vẽ
3
-14
1
b) Nhắc lại tính chất cơ bản của phân số.
Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho. Nếu chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân số bằng phân số đã cho.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
latex(P/Q = (P.M)/(Q.M)) với M là một đa thức khác đa thức 0.
latex(P/Q = (P:N)/(Q:N)) với N là một nhân tử chung của P và Q.
- Ví dụ 3
- Ví dụ 3:
Dùng tính chất cơ bản của phân thức, em hãy giải thích vì sao có thể viết: a) latex(3/(4-x)=-3/(x-4)); b) latex((x-y)/(xy-x)=(y-x)/(x-xy)).
Ảnh
Giải:
a) Ta có: latex(3/(4-x)=(3.(-1))/((4-x).(-1))=-3/(x-4)). Vậy latex(3/(4-x)=-3/(x-4)). b. Ta có: latex((x-y)/(xy-x)=((x-y).(-1))/((xy-x).(-1))=(y-x)/(x-xy)). Vậy latex((x-y)/(xy-x)=(y-x)/(x-xy)).
???
- Lưu ý
- Lưu ý:
Nếu ta đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì ta được một phân thức bằng phân thức đã cho: latex(P/Q=(-P)/(-Q); P/(-Q)=(-P)/Q)
Ảnh
- HS giải ví dụ 4
- HS giải ví dụ 4:
Ảnh
Bạn Hà viết latex((3x^2)/(3x^2+3)=(x^2)/(x^2+1)) và giải thích bạn đã chia cả tử và mẫu của phân thức latex((3x^2)/(3x^2+3)) cho 3 để được phân thức latex((x^2)/(x^2+1)). Bạn Liên lại viết latex((3x^2)/(3x^2+3)=1/(1+3)=1/4) và giải thích bạn chia cả tử và mẫu của phân thức latex((3x^2)/(3x^2+3)) cho latex(3x^2) để được kết quả như vậy. Hỏi bạn nào làm đúng, bạn nào làm chưa đúng? Vì sao?
- Luyện tập
Ảnh
- Luyện tập:
Câu 3: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy giải thích vì sao có thể viết: latex((3x+y)/y = (3xy+y^2)/(y^2))
2. Ứng dụng
2. Ứng dụng
Ảnh
HĐ4: Cho phân thức latex((4x^2y)/(6xy^2)). a) Tìm nhân tử chung của tử và mẫu. b) Tìm phân thức nhận được sau khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
a) Rút gọn phân thức
- Khám phá kiến thức
Ảnh
- Khám phá kiến thức:
Khi chia cả tử và mẫu của một của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng để được phân thức mới (đơn giản hơn) thì cách làm đó được gọi là rút gọn phân thức.
- Nhận xét
Ảnh
Ảnh
- Nhận xét:
Muốn rút gọn một phân thức, ta có thể làm như sau:
B1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần). B2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
- Ví dụ 5
- Ví dụ 5:
Rút gọn mỗi phân thức sau: a) latex((x^2+2x)/(x^2+4x+4)); b) latex((x^2y-xy^2)/(x^2-y^2)).
Ảnh
Giải:
a) latex((x^2+2x)/(x^2+4x+4) = (x(x+2))/((x+2)^2)) = latex(x/(x+2));
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử
Hình vẽ
Hình vẽ
Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung x + 2
???
b) latex((x^2y-xy^2)/(x^2-y^2)=(xy(x-y))/((x+y)(x-y))=(xy)/(x+y)).
- Luyện tập
Ảnh
- Luyện tập:
Câu 4: Rút gọn mỗi phân thức sau: a) latex((8x^2+4x)/(2-4x^2)); b) latex((x^3-xy^2)/(2x^2+2xy))
b. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức
Ảnh
HĐ5: Cho hai phân thức latex(1/(x^2y)) và latex(1/(xy^2)). a) Hãy nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với y và nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x. b. Nhận xét gì về mẫu của hai phân thức thu được.
b. Quy đồng mẫu thức nhiều nhiều phân thức
- Khám phá kiến thức
Ảnh
- Khám phá kiến thức:
Khi biến đổi các phân thức đã cho thành các phân thức mới bằng nó và các phân thức mới này có cùng mẫu thức thì cách biến đổi đó được gọi là quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.
- Hoạt động 6 (b. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức)
HĐ6: Tìm mẫu thức chung (MTC) của hai phân thức latex(5/(2x+6)) và latex(3/(x^2-9))
B1: Phân tích mẫu của mỗi phân thức đã cho thành nhân tử: latex(2x+6=2(x+3);x^2-9=(x-3)(x+3)). B2: Chọn MTC là latex(2(x-3)(x+3)).
Ảnh
Cách tìm mẫu thức chung của hai phân thức:
- Hoạt động 7 (b. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức)
Ảnh
HĐ7: Quy đồng mẫu thức hai phân thức latex(1/(x^2+x)) và latex(1/(x^2-x))
B1: Tìm mẫu thức chung Chọn MTC là: x(x - 1)(x + 1). B2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (chia MTC cho từng mẫu). latex([x(x-1)(x+1)]:[x(x+1)]=x-1); latex([x(x-1)(x+1)]:[x(x-1)]=x+1). B3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng: latex(1/(x^2+x)=1/(x(x+1))=(x-1)/(x(x+1)(x-1));1/(x^2-x)=1/(x(x-1))=(x+1)/(x(x+1)(x-1)))
- Nhận xét
Ảnh
Ảnh
- Nhận xét:
Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, ta có thể làm như sau:
B1: Phân tích mẫu của mỗi phân thức thành nhân tử rồi tìm MTC. B2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (Chia MTC cho từng mẫu). B3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng.
- Ví dụ 6
- Ví dụ 6:
Quy đồng mẫu thức các phân thức: latex(1/(3x-6), 2/(3x+6)) và latex(4/(4-x^2))
Ảnh
Giải:
???
Ta có: latex(3/(4-x^2) = (-3)/(x^2-4)); 3x - 6 = 3(x - 2); 3x + 6 = 3(x - 2); latex(x^2-4) = (x - 2)(x + 2) => Chọn MTC là: 3(x - 2)(x + 2). Nhân tử phụ của các mẫu thức trên lần lượt là: x + 2; x - 2; 3. Vậy: latex(1/(3x-6)=1/(3(x-2)) = (x+2)/(3(x-2)(x+2))); = latex(2/(3x+6) = 2/(3(x+2))=(2(x-2))/(3(x-2)(x+2))); = latex(3/((4-x)^2)=(-3)/(x^2-4)=(-3)/((x-2)(x+2)) = (-9)/(3(x-2)(x+2)))
- Luyện tập
Ảnh
- Luyện tập:
Câu 5: Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau: a) latex(5/(2x^2y^3)) và latex(3/(xy^4)). b) latex(3/(2x^2-10x)) và latex(2/(x^2-25)).
III. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức
- Hoạt động 8
Ảnh
III. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức
HĐ8: Cho phân thức latex((2x^2-x+1)/(x-2)). Tìm giá trị của x sao cho mẫu latex(x - 2 != 0)
- Kết luận 1
Ảnh
Ảnh
- Kết luận 1:
Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 được gọi là điều kiện để giá trị của phân thức được xác định.
- Ví dụ 7
- Ví dụ 7:
Viết điều kiện của biến để giá trị của mỗi phân thức sau được xác định: a) latex((2x+1)/(x+4)); b) latex((x^2y)/(x+2y)).
Ảnh
Giải:
???
a. Điều kiện để giá trị của phân thức latex((2x+1)/(x+4)) được xác định là latex(x + 4 != 0). b. Điều kiện để giá trị của phân thức latex((x^2y)/(x+2y)) được xác định là latex(x + 2y != 0).
- Hoạt động 9 (III. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức)
Ảnh
HĐ9: Tính giá trị của biểu thức latex((x+2)/(x-1)) tại x = 2.
- Kết luận 2
Ảnh
Ảnh
- Kết luận 2:
Cho phân thức đại số latex(P/Q). Giá trị của biểu thức latex(P/Q) tại những giá trị cho trước của các biến để giá trị của mẫu thức khác 0 được gọi là giá trị của phân thức latex(P/Q) tại những giá trị cho trước của các biến đó.
- Ví dụ 8
- Ví dụ 8:
Cho phân thức latex((4x+y)/(x+y)). a) Viết điều kiện của biến để giá trị của phân thức trên được xác định. b. Tính giá trị của phân thức trên tại x = -1; y = 2.
Ảnh
Giải:
???
a) Điều kiện để giá trị của phân thức latex((4x+y)/(x+y)) được xác định là latex(x + y!= 0) b) Giá trị của phân thức đã cho tại x = -1; y = 2 là latex((4.(-1)+2)/((-1)+2)=-2/1=-2)
- HS giải ví dụ 9
- HS giải ví dụ 9:
Ảnh
Cho phân thức latex((x^2+2x+1)/(x^2-1)). a) Viết điều kiện của x để giá trị của phân thức trên được xác định. b) Chứng tỏ phân thức rút gọn của phân thức đã cho là latex((x+1)/(x-1)). c) Để tính giá trị của phân thức đã cho tại x = 2 và tại x = -1, bạn Ngân đã làm như sau:
+ Với x = 1, phân thức đã cho có giá trị là latex((2+1)/(2-1)=3). + Với x = -1, phân thức đã cho có giá trị là latex(((-1)+1)/((-1)-1)=0/(-2)=0)
d) Với những giá trị nào của biến thì có thể tính được giá trị của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn?
- Nhận xét
Ảnh
Ảnh
- Nhận xét:
Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của một phân thức được xác định thì phân thức đó và phân thức rút gọn của nó có cùng một giá trị.
- Luyện tập
Ảnh
- Luyện tập:
Câu 6: Cho phân thức latex((x+1)/(x^2+x)). a) Vết điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định. b) Tính giá trị của phân thức tại x = 10 và tại x = -1.
Bài tập
Bài 1 (Bài tập củng cố)
Ảnh
Bài 1: Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau: a) latex(y/(3y+3)); b) latex((4x)/(x^2+16)); c) latex((x+y)/(x-y)).
Bài 2 (Bài tập củng cố)
Ảnh
Bài 2: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng: a) latex((3x)/2=(15xy)/(10y)); b) latex((3x-3y)/(2y-2x)=(-3)/2) c) latex((x^2-x+1)/x = (x^3+1)/(x(x+1))).
Bài 3 (Bài tập củng cố)
Ảnh
Bài 3: Rút gọn mỗi phân thức sau: a) latex((24x^2y^2)/(16xy^3)); b) latex((6x-2y)/(9x^2-y^2)).
Dặn dò
- Dặn dò
Ảnh
Dặn dò
Ôn lại bài vừa học. Hoàn thành bài 4, 5, 6 SGK Tr 37 và SBT. Chuẩn bị bài:"Chương II. Phép cộng, phép trừ phân thức đại số".
- Cảm ơn
Ảnh