CHƯƠNG IV. BÀI 11. NGUYÊN HÀM
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG IV. BÀI 11. NGUYÊN HÀM
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Ảnh
Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi v(t) = 5 + 3t (m/s), với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển kể từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?
Ảnh
1. Nguyên hàm của một hàm số
Nguyên hàm của một hàm số
Ảnh
1. Nguyên hàm của một hàm số
- HĐ1
Ảnh
Hình vẽ
HĐ1: Cho hai hàm số latex(f(x) = x^2 + 1) và latex(F(x) = 1/3 x^3 + x), với x ∈ R. a) Tính đạo hàm của hàm số F(x). b) F'(x) và f(x) có bằng nhau không?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Hình vẽ
Trong trường hợp K = [a; b] thì các đẳng thức F'(a) = f(a) và F'(b) = f(b) được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm x = a và đạo hàm bên trên tại điểm x = b của hàm số F(x) tức là: latex(lim_(x -> a^+) (F(x) - F(a))/(x - a) = f(a)) và latex(lim_(x -> b^-) (F(x) - F(b))/(x - b) = f(b)).
- Ví dụ 1
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) = latex(x^2 - 2x). Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R? F(x) = latex((x^3)/3 - x^2; G(x) = (x^3)/3 + x^2).
Ta có: F'(x) = latex(x^2 - 2x), G'(x) = latex(x^2 + 2x). Vì F'(x) = f(x) với mọi latex(x in R) nên hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R. Hàm số G(x) không là nguyên hàm của f(x) trên R vì với x = 1, ta có: G'(1) = latex(3 != -1 = f(1)).
- Giải:
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số latex(f(x) = x + 1/x) trên khoảng latex((0; +oo))? latex(F(x) = 1/2 x^2 + lnx); latex(G(x) = (x^2)/2 - lnx).
- HĐ2
Ảnh
Hình vẽ
HĐ2: Cho hàm số f(x) = latex(x^3). a) Chứng minh rằng hàm số F(x) = latex((x^4)/4) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. b) Hàm số G(x) = latex((x^4)/4 + C) (với C là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R không? Vì sao?
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Giả sử HS F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó: a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K; b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi latex(x in K)). Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + C (latex(C in R)) là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu bởi latex(int f(x) dx).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó: latex(int f(x)dx = F(x) + C), C là hằng số.
b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số f(x) liên tục trên khoảng K thì f(x) có nguyên hàm trên khoảng đó. c) Biểu thức f(x) dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), kí hiệu là dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx. d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K, ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó.
- Ví dụ 2
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 2: Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = latex(x^2) trên R. Từ đó hãy tìm latex(int x^2 dx).
Vì latex(((x^3)/3))' = latex((3x^2)/3 = x^2) nên F(x) = latex((x^3)/3) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Do đó, latex(int x^2 dx = (x^3)/3 + C).
- Giải:
- Luyện tập 2
Ảnh
- Luyện tập 2:
Tìm latex(int x^3 dx).
2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
Tính chất cơ bản của nguyên hàm
Ảnh
2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
- HĐ3
Ảnh
Hình vẽ
HĐ3: Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là một hằng số khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. a) Chứng minh kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K. b) Nêu nhận xét về latex(intkf(x)dx) và latex(kintf(x)dx).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
latex(int kf(x)dx = kintf(x)dx (k!=0))
- Ví dụ 3
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 3: Sử dụng kết quả của Ví dụ 2, hãy tìm: a) latex(int 3x^2 dx); b) latex(int - 3/2 x^2 dx).
a) latex(int3x^2dx = 3intx^2dx = 3 . (x^2)/3 + C = x^3 + C). b) latex(- int 3/2 x^2dx = - 3/2 intx^2dx = -3/2 . (x^3)/3 +C = -1/2 x^3 + C).
- Giải:
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3
Cho hàm số f(x) = latex(x^n) (n ∈ N*). a) Chứng minh rằng hàm số F(x) = latex((x^(n +1))/(n + 1)) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm latex(int x^n dx). b) Từ KQ câu a, tìm latex(int kx^n dx) (k là hằng số thực khác 0).
- HĐ4
Ảnh
Hình vẽ
HĐ4: Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K. a) Chứng minh F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K. b) Nêu nhận xét về latex(int[f(x) + g(x)]dx) và latex(intf(x)dx + intg(x)dx).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
* latex(int[f(x) + g(x)]dx = intf(x)dx + intg(x)dx). * latex(int[f(x) - g(x)]dx = intf(x)dx - intg(x)dx).
- Ví dụ 4
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 4: Sử dụng kết quả của Luyện tập 3 và tính chất cơ bản của nguyên hàm, hãy tìm: a) latex(int(x^2 + x) dx); b) latex(int(4x^3 - 3x^2)dx).
Ta có: a) latex(int(x^2 + x)dx = int x^2dx + intxdx = (x^3)/3 + (x^2)/2 + C). b) latex(int(4x^3 - 3x^2)dx = 4intx^3dx - 3intx^2dx = x^4 - x^3 + C).
- Giải:
- Luyện tập 4
Ảnh
- Luyện tập 4:
Tìm: a) latex(int(3x^2 + 1)dx); b) latex(int(2x - 1)^2dx).
- Vận dụng
Ảnh
- Vận dụng:
Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩn là số tiền R(x) (triệu đồng) thu được khi x đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi x đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số MR(x) = R'(x). Một công ty công nghệ cho biết, tốc độ biến đổi của doanh thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho bởi MR(x) = 300 – 0,1x, ở đó x là số lượng chíp đã bán. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán 1000 con chíp.
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Ảnh
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
a. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa
Ảnh
Hình vẽ
Hàm số latex(y = x^alpha) với latex(alpha in R) được gọi là hàm số luỹ thừa. Tập xác định của hàm số luỹ thừa y = latex(x^alpha) tuỳ thuộc vào giá trị của latex(alpha). * Với latex(alpha) nguyên dương, tập xác định là R; * Với latex(alpha) nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là R\{0}; * Với latex(alpha) không nguyên, tập xác định là latex((0; +oo)).
a. Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Hàm số luỹ thừa y = latex(x^alpha (alpha in R)) có đạo hàm với mọi x > 0 và latex((x^alpha))' = latex(alphax^(alpha - 1)).
- Câu hỏi
Ảnh
- Câu hỏi:
Bằng cách viết lại các hàm số sau dưới dạng hàm số lũy thừa latex(y = x^α) (x > 0), hãy tính đạo hàm của các hàm số sau với x > 0: latex(y = 1/(x^4); y = x^sqrt2; y = 1/(root3 x)).
- HĐ5
Ảnh
Hình vẽ
HĐ5: a) Với α ≠ −1, tính đạo hàm của hàm số latex(y = (x^(alpha + 1))/(alpha +1) (x > 0)). b) Cho hàm số y = ln|x| (x ≠ 0). Tính đạo hàm của hàm số này trong hai trường hợp: x > 0 và x < 0.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
* latex(intx^alphadx = (x^(alpha + 1))/(alpha + 1) + C (alpha != -1)). * latex(int1/xdx = ln|x| + C).
- Ví dụ 5
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 5: Tìm: a) latex(intsqrtx dx (x > 0)); b) latex(int1/(x^3) dx); c) latex(int(2x^2 + 3/sqrtx)dx).
a) latex(intsqrtx dx = intx^(1/2) dx = (x^(1/2 + 1))/(1/2 + 1) + C = 2/3 x^(3/2) + C = 2/3x sqrtx + C). b) latex(int1/(x^3) dx = intx^3dx = (x^(-3 + 1))/(-3 + 1) + C = -1/2 x^2 +C = - 1/(2x^2) + C). c) latex(int(2x^2 + 3/sqrtx)dx = int2x^2dx + int3/sqrtxdx = 2intx^2dx + 3int1/sqrtx dx) latex(= 2/3 x^3 + 6sqrtx + C).
- Giải:
- Luyện tập 5
Ảnh
- Luyện tập 5:
Tìm: a) latex(int1/(x^4) dx); b) latex(intxsqrtx dx (x > 0)); c) latex(int(3/x - 5root3 x)dx(x > 0)).
b. Nguyên hàm của hàm số lượng giác
HĐ6a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây.
b. Nguyên hàm của hàm số lượng giác
Ảnh
b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số cho trong bảng dưới đây.
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
* latex(intcosxdx = sinx + C); * latex(intsinxdx = -cosx + C); * latex(int1/(cos^2x)dx = tanx + C); * latex(int1/(sin^2x dx) = -cotx + C).
- Ví dụ 6
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 6: Tìm: a) latex(int(cosx + sinx)dx); b) latex(int(2cosx - 1/(cos^2x))dx).
a) latex(int(cosx + sinx)dx = intcosxdx + intsinxdx = sinx - cosx + C). b) latex(int(2cosx - 1/(cos^2x))dx = 2intcosxdx - int1/(cos^2x)dx = 2sinx - tanx + C).
- Giải:
- Luyện tập 6
Ảnh
- Luyện tập 6:
Tìm: a) latex(int(3cosx - 4sinx)dx); b) latex(int(1/(cos^2x) - 1/(sin^2x))dx).
c. Nguyên hàm của hàm số mũ
HĐ7a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây.
c. Nguyên hàm của hàm số mũ
b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số cho trong bảng dưới đây.
Ảnh
Ảnh
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
latex(inte^x dx = e^x + C). latex(inta^xdx = (a^x)/(lna) + C (0 < a != 1).)
- Ví dụ 7
Ảnh
Hình vẽ
Ví dụ 7: Tìm: a) latex(int2^x dx); b) latex(1/(3^x) dx); c) latex(int(2e^x - 5^x) dx).
a) latex(int2^x dx = (2^x)/(ln2) + C). b) latex(int1/(3^x)dx = int(1/3)^x dx = ((1/3)^x)/(ln 1/3) + C = - 1/(3^x ln3) + C). c) latex(int(2e^x - 5^x)dx = 2inte^xdx - int5^xdx = 2e^x - (5^x)/(ln5) + C).
- Giải:
- Luyện tập 7
Ảnh
- Luyện tập 7:
Tìm: a) latex(int4^x dx); b) latex(int1/(e^x) dx); c) latex((int2.3^x - 1/3 . 7^x) dx).
4. Bài tập
Bài tập
Ảnh
4. Bài tập
Bài 1
Ảnh
Bài 1: Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao? a) F(x) = xlnx và f(x) = 1 + lnx trên khoảng (0; +∞); b) F(x) = latex(e^(sinx)) và f(x) = latex(e^(cosx)) trên R.
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Xét điểm M(x; f(x)) thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là latex(k_M = (x – 1)^2) và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f(x).
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi v(t) = 160 – 9,8t (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất): a) Sau t = 5 giây; b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
DẶN DÒ:
Tổng hợp lại kiến thức vừa học. Hoàn thành bài tập trong SBT, SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương IV. Bài 12. Tích phân".
Cảm ơn
Ảnh