CHƯƠNG I. BÀI 4. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG I. BÀI 4. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
Ảnh
- Khởi động:
Một đơn vị sản xuất hàng tiêu dùng ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là C(x) = 2x + 45 (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là y = latex(f(x) = (C(x))/x). Hãy giải thích tại sao chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/sản phẩm. Điều này thể hiện trên đồ thị của hàm số y = f(x) trong Hình 1.27 như thế nào?
1. Sơ đồ khảo sát hàm số
Sơ đồ khảo sát hàm số
Ảnh
1. Sơ đồ khảo sát hàm số
- HĐ1
Ảnh
Hình vẽ
HĐ1: Cho hàm số latex(y = x^2 - 4x + 3). Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau: a) Tính y' và tìm các điểm tại đó y' = 0. b) Xét dấu y’ để tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị của hàm số. c) Tính latex(lim_(x -> -oo) y, lim_(x -> +oo) y) và lập bảng biến thiên của hàm số. d) Vẽ đồ thị của hàm số và nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
Tính đạo hàm y'. Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại. Xét dấu y' để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
Tìm cực trị của hàm số. Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có). Lâp bảng biến thiên của hàm số.
3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Ảnh
Khi vẽ đồ thị, nên xác định thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trụ toạ độ (khi có và việc tìm không quá phức tạp). Ngoài ra, cần lưu ý đến tính đối xứng của đồ thị (đối xứng tâm, đối xứng trục).
2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc bâc
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc bâc
Ảnh
2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc bâc
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của HS y = latex(-x^3 + 3x^2 - 4).
- Giải:
1. TXĐ của hàm số: R 2. Sự biến thiên: * Ta có: y' = latex(-3x^2 + 6x). Vậy y' = 0 khi x = 0 hoặc x = 2. * Trên khoảng (0; 2), y' > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng latex((-oo; 0)) và latex((2; +oo)), y' < 0 nên HS nghịch biến trên mỗi khoảng đó. * Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu latex(y_(CT) = -4). Hàm số đạt cực đại tại x = 2, giá trị cực đại latex(y_(CĐ) = 0). * Giới hạn tại vô cực: latex(lim_(x-> -oo) y = lim_(x -> -oo) (-1 + 3/x - 4)/(x^3) = +oo; lim_(x -> +oo) y = lim_(x -> +oo) x^3(-1 + 3/x - 4)/(x^3) = -oo).
+ tiếp
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của HS y = latex(-x^3 + 3x^2 - 4).
- Giải:
2. Sự biến thiên: * Bảng biến thiên:
Ảnh
Ảnh
+ tiếp
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của HS y = latex(-x^3 + 3x^2 - 4).
- Giải:
Ảnh
Ảnh
3. Đồ thị (H.1.28): * Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; -4). * Ta có y = 0 latex(<=> -x^3 + 3x^2 - 4 = 0) latex(<=> -(x - 2)^2 ( x + 1) = 0 <=> x = -1) hoặc x = 2. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm (-1; 0) và (2; 0). * Đồ thị hàm số cố tâm đối xứng là điểm (1; -2).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Ảnh
Đồ thị của hàm số bậc ba y = latex(x&3 + bc^2 + cx + d (a !=0)): * Có tâm đối xứng là điểm có hoành độ thoả mãn y" = 0, hay latex(x = - b/(3a)); * Không có tiệm cận.
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của HS y = latex(x^3 - 2x^2 + 2x - 1).
- Giải:
1. TXĐ của hàm số: R. 2. Sự biến thiên: * Ta có: y' = latex(3x^2 - 4x + 2). Vậy y' > 0 với mọi latex(x in R). * Hàm số đồng biến trên khoảnng latex((-oo; +oo)). * Hàm số không có cực trị. *Giới hạn tại vô cực: latex(lim_(x -> -oo) y = lim_(x -> -oo) x^3 (1 - 2/x + 2/(x^2) - 1/(x^3))= -oo); latex(lim_(x -> +oo) y = lim_(x -> +oo) x^3 (1 - 2/x + 2/(x^2) - 1/(x^3))= +oo);
Ảnh
+ tiếp
Ảnh
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của HS y = latex(x^3 - 2x^2 + 2x - 1).
- Giải:
2. Sự biến thiên: * Bảng biến thiên:
Ảnh
+ tiếp
Ảnh
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của HS y = latex(x^3 - 2x^2 + 2x - 1).
- Giải:
Ảnh
3. Đồ thị (H.1.29): * Giap điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; -1). * Ta có y = 0 latex(<=> x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = 0) latex(<=> (x - 1)(x^2 - x + 1) = 0 <=> x = 1). Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (1; 0). * Đồ thị HS có tâm đối xứng là điểm latex((2/3; - 7/27)).
- Luyện tập 1
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 1:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = latex(-2x^3 + 3x^2 - 5x).
3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ
Ảnh
3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ
a. Hàm số phân thức y = latex((ax + b)/(cx + d) (c!=0, a - bc !=0))
Ảnh
a. Hàm số phân thức y = latex((ax + b)/(cx + d)) latex((c!=0, a - bc !=0))
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số latex(y = (x + 1)/(x - 2)).
- Giải:
1. TXĐ: R\{2}. 2. Sự biến thiên: * Ta có: y' = latex(- 3/((x - 2)^2) < 0) với mọi latex(x !=2). * Hàm số nghịch biến trên từng khoảng latex((-oo; 2)) và latex((2; +oo)). * Hàm số không có cực trị. * Tiệm cân: latex(lim_(x->2^-)y = lim_(x -> 2^-) (x + 1)/(x - 2) =- oo; lim_(x -> 2^+) y = lim_(x -> 2^+) (x + 1)/(x - 2) = +oo). latex(lim_(x->+oo)y = lim_(x -> +oo) (x + 1)/(x - 2) =1; lim_(x -> -oo) y = lim_(x -> -oo) (x + 1)/(x - 2) = 1).
Ảnh
+ tiếp
Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số latex(y = (x + 1)/(x - 2)).
- Giải:
2. Sự biến thiên: * Bảng biến thiên:
Ảnh
Ảnh
+ tiếp
Ảnh
Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số latex(y = (x + 1)/(x - 2)).
- Giải:
3. Đồ thị (H.1.30): * Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm latex((0; - 1/2)). * Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (-1; 0). * Đồ thị HS nhận giao điểm I(2; 1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
Ảnh
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Ảnh
Đồ thị của hàm số phân thức y = latex((ax + b)/(cx + d) (c!=0, ac - bc != 0)): * Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm tâm đối xứng; * Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
- Luyện tập 2
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 2:
Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi f(x) là hàm số xác định với latex(x >= 1).
- Vận dụng
Ảnh
- Vận dụng:
Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan). a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút. Tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau t phút. b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số f(t) với latex(t >= 0). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này. c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử tăng theo t nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.
b. Hàm số phân thức y = latex((ax^2 + bx + c)/(px + q) (a != 0, p!=0)), đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)
Ảnh
b. Hàm số phân thức y = latex((ax^2 + bx + c)/(px + q)) (latex(a != 0, p!=0), đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số latex(y = (x^2 - x - 1)/(x - 2)).
- Giải:
1. TXĐ: R\{2}. 2. Sự biến thiên: Viết y = latex(x + 1 + 1/(x - 2)). * Ta có: y' = latex(1 - 1/((x - 2)^2) = (x^2 - 4x + 3)/((x - 2)^2)). Vậy y' = 0 latex(<=> (x^2 - 4x + 3)/((x - 2)^2) = 0 <=> x = 1) hoặc x = 3. * Trên các khoảng latex((-oo; 1)) và latex((3; +oo)), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này. Trên các khoảng (1; 2) và (2; 3), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này. * Hàm số đạt cực đại tại x = 1 với latex(y_(CĐ) = 1); hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 với latex(y_(CT) = 5).
+ tiếp
Ví dụ 4: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số latex(y = (x^2 - x - 1)/(x - 2)).
- Giải:
2. Sự biến thiên: Viết y = latex(x + 1 + 1/(x - 2)). * latex(lim_(x -> -oo)y = lim_(x -> -oo) (x^2 - x - 1)/(x - 2) = lim_(x -> -oo) (x - 1 - 1/x)/(1 - 2/x) = -oo); * latex(lim_(x -> +oo) y = lim_(x -> +oo) (x^2 - x -x - 1)/(x - 2) = lim_(x -> +oo) (x - 1 - 1/x)/(1 - 2/x) = +oo). * Tiệm cận: latex(lim_(x -> 2^-) y = lim_(x -> 2^-) (x + 1 + 1/(x - 2)) = -oo; lim_(x -> 2^+) y = lim_(x -> 2^+) (x + 1 + 1/(x - 2)) = +oo); latex(lim_(x -> +oo) [y -(x + 1)] = lim_(x ->+oo) 1/(x - 2) = 0; lim_(x -> -oo) [y - (x + 1)] = lim_(x-> -oo) 1/(x - 2) = 0);
+ tiếp
Ví dụ 4: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số latex(y = (x^2 - x - 1)/(x - 2)).
- Giải:
2. Sự biến thiên: * Bảng biến thiên:
Ảnh
Ảnh
+ tiếp
Ví dụ 4: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số latex(y = (x^2 - x - 1)/(x - 2)).
- Giải:
3. Đồ thị (H.1.301): * Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm latex((0; 1/2)). * Ta có y = 0 latex(<=> (x^2 - x - 1)/(x - 2) = 0 <=> x = (1- sqrt5)/2) hoặc latex(x = (1 + sqrt5)/2). Do đó giao điểm của đồ thị với trục hoành là các điểm latex(((1 - sqrt5)/2; 0)) và latex(((1 + sqrt5)/2; 0)) * Đồ thị hàm số nhận giao điẻm I(2; 3) của hai đường tiệm cận làm tâm ĐX và nhận 2 đường phân giác của các góc tạo bởi 2 đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
Ảnh
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Ảnh
Đồ thị của hàm số phân thức y = latex((ax^2 + bx + c)/(px + q)) (latex(a!=0, p != 0), đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu: * Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng; * Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
- Luyện tập 3
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 3:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = latex((-x^2 + 3x - 1)/(x - 2)).
4. Bài tập
Bài tập
Ảnh
4. Bài tập
Bài 1
Ảnh
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) latex(y = -x^3 + 3x + 1); b) latex(y = x^3 + 3x^2 - x - 1).
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) latex(y = (2x +1)/(x + 1)); b) latex(y = (x + 3)/(1 - x)).
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Một cốc chứa 30ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác chứa nồng độ 8mg/ml được trộn vào cốc. a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa, kí hiệu là C(x). b) Coi hàm C(x) là hàm số xác định với latex(x >= 0). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này. c) Giải thích tại sao nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8mg/ml.
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
DẶN DÒ:
Tổng hợp lại kiến thức vừa học. Hoàn thành bài tập trong SBT, SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương I. Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn".
Cảm ơn
Ảnh