CHƯƠNG II. BÀI 7. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG II. BÀI 7. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Trong Hình 2.34, một chiếc bóng đèn được treo cách sàn nhà là 2 m, cách hai bức tường lần lượt là 1 m và 1,5 m. Kiến thức toán học nào giúp mô tả chính xác và ngắn gọn vị trí của chiếc bóng đèn trong không gian?
Ảnh
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Hệ trục tọa độ trong không gian
Ảnh
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
- HĐ1
Ảnh
Hình vẽ
Ảnh
HĐ1: Trong không gian, xét ba trục Ox, Oy, Oz có chung gốc O và đôi một vuông góc với nhau. Gọi latex(veci, vecj, veck) là các vectơ đơn vị trên các trục đó (H.2.35). a) Gọi tên các mặt phẳng tọa độ có trong Hình 2.35. b) Các mặt phẳng tọa độ trong H2.35 có đôi một vuông góc với nhau?
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi latex(veci, vecj, veck) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục latex(Ox, Oy, Oz). * Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản là hệ toạ độ Oxyz. * Điểm O được gọi là gốc toạ độ. * Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ. Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.
- Câu hỏi
Ảnh
- Câu hỏi:
Góc căn phòng trong Hình 2.34 có gợi lên hình ảnh về hệ tọa độ Oxyz trong không gian hay không? Nếu có, hãy mô tả gốc tọa độ và các mặt phẳng tọa độ trong hình ảnh đó.
- Ví dụ 1
- Giải:
Ảnh
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 1
Ảnh
- Luyện tập 1:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Có thể lập một hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh C và các vectơ latex(veci, vecj, veck) lần lượt cùng hướng với các vectơ latex(vec(CB), vec(CD), vec(C C))' không? Giải thích vì sao.
2. Tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian
Tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian
Ảnh
2. Tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian
- HĐ2
Hình vẽ
Ảnh
Ảnh
HĐ2: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M không thuộc các mặt phẳng tọa độ. Vẽ hình hộp chữ nhật OADB.CFME có ba đỉnh A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz (H.2.37). a) Hai vectơ latex(vec(OM)) và latex(vec(OA) + vec(OB) + vec(OC)) có bằng nhau không? b) Giải thích vì sao có thể viết latex(vec(OM) = xveci + yvecj + zveck), với x, y, z là các số thực.
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian Oxyz, cho điểm M tuỳ ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho latex(vec(OM) = xveci + yvecj + zveck) được gọi là toạ độ của điểm M đối với hệ toạ độ Oxyz. Khi đó, ta viết M = (x; y; z) hoặc M(x; y; z), trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M.
- Câu hỏi
- Câu hỏi:
Ảnh
Hãy tìm toạ độ của góc O.
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Hình 2.38 minh hoạ một hệ toạ độ Oxyz trong không gian cùng với các hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị. Tìm toạ độ của điểm M.
- Giải:
Hình vẽ
Trong Hình 2.38, ABCM.FODE là hình hộp chữ nhật. Áp dụng quy tắc hình hộp suy ra: latex(vec(OM) = vec(OF) + vec(OD) + vec(OB) = 3veci + 4vecj + 3veck). Vì vậy, toạ độ của điểm M là (3; 4; 3).
Ảnh
Ảnh
- Luyện tập 2
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 2:
Tìm tọa độ của điểm N trong H.2.39.
Ảnh
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A' trùng với gốc O và các đỉnh D', B', A lần
lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz (H.2.40). Giả sử đỉnh C có toạ độ là (2; 3; 5) đối với hệ toạ độ Oxyz, hãy tìm toạ độ của các đỉnh D', B',
A đối với hệ toạ độ đó.
Ảnh
+ Giải (- Ví dụ 3)
- Giải:
Hình vẽ
Vì đỉnh D' thuộc tia Ox nên hai vectơ latex(vec(OD))' và latex(veci) cùng phương, suy ra có số thực m sao cho latex(vec(OD))' = latex(mveci). Tương tự, có các số thực n, p sao cho latex(vec(OB))' = latex(nvecj) và latex(vec(OA) = pveck). Theo quy tắc hình hộp, suy ra latex(vec(OC) = vec(OD))' + latex(vec(OB))' + latex(vec(OA) = mveci + nvecj + pveck), do đó điểm C có toạ độ là (m; n; p). Mặt khác, đỉnh C có toạ độ là (2; 3; 5) nên m = 2, n = 3, p = 5, tức là latex(vec(OD))' latex(2veci, vec(OB))' = latex(3vecj) và latex(vec(OA) = 5veck). Từ đây suy ra D'(2; 0; 0), B'(0; 3; 0) và A(0; 0; 5).
Ảnh
- Luyện tập 3
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 3:
Trong Ví dụ 3, hãy xác định tọa độ của các điểm B, D và C'.
- Nhận xét
Ảnh
Ảnh
- Nhận xét:
Nếu điểm M có toạ độ (x; y; z) đối với hệ toạ độ Oxyz thì: * Hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox, Oy và Oz có toạ độ lần lượt là (x; 0; 0), (0; y; 0) và (0; 0; z). * Hình chiếu vuông góc của M trên các MP (Oxy), (Oyz) và (Ozx) có toạ độ lần lượt là (x; y; 0), (0; y; z) và (x; 0; z).
- Vận dụng 1
Ảnh
- Vận dụng 1:
Trong tình huống mở đầu, hãy chọn một hệ tọa độ phù hợp và xác định tọa độ của chiếc bóng đèn đối với hệ tọa độ đó.
- HĐ3
Hình vẽ
Ảnh
Ảnh
HĐ3: Trong không gian Oxyz, cho vectơ latex(veca) tuỳ ý (H.2.41). Lấy điểm M sao cho latex(vec(OM) = veca) và giải thích vì sao có bộ ba số (x; y; z) sao cho latex(veca = xveci + yvecj + zveck).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian Oxyz, cho vectơ latex(veca) tuỳ ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho latex(veca = xveci + yvecj + zveck) được gọi là toạ độ của vectơ latex(veca) đối với hệ toạ độ Oxyz. Khi đó, ta viết latex(veca = (x; y; z)) hoặc latex(veca(x; y; z)).
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, hãy tìm toạ độ của vectơ latex(veci, vecj) và latex(veck).
- Giải:
Hình vẽ
Vì latex(veci = 1. veci + 0. vecj + 0.veck) nên latex(veci = (1; 0; 0)). Vì latex(vecj = 0. veci + 1. vecj + 0.veck) nên latex(vecj = (0; 1; 0)). Vì latex(veck = 0. veci + 0. vecj + 1.veck) nên latex(veck = (0; 0; 1)).
Ảnh
- Luyện tập 4
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 4:
Trong không gian Oxyz, hãy xác định tọa độ của vectơ latex(veci + 2vecj +5veck).
- HĐ4
Ảnh
Hình vẽ
HĐ4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(x; y; z) và N(x'; y'; z').
a) Hãy biểu diễn hai vectơ latex(vec(OM)) và latex(vec(ON)) qua các vectơ latex(veci, vecj) và latex(veck). b) Xác định tọa độ của vectơ latex(vec(MN)) .
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm latex(M(x_M; y_M; z_M)) và latex(N(x_N; y_N; z_N)). Khi đó: latex(vec(MN) = (x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M)).
- Ví dụ 5
Ảnh
Ảnh
Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A(1; 0; 2), B(3; 2; 5), C(7; -3; 9) và A'(5; 0; 1) (H.2.42). a) Tìm toạ độ của latex(vec(A A))'. b) Tìm toạ độ của các điểm B', C'.
+ Giải (- Ví dụ 5)
Ảnh
- Giải:
Ảnh
- Luyện tập 5
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 5:
Trong Ví dụ 5, xác định tọa độ của các điểm D và D' sao cho ABCD.A'B'C'D' là hình hộp.
- Vận dụng 2
- Vận dụng 2:
Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.43). Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ tọa độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo kilômét.
Ảnh
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
Bài 1
Ảnh
Bài 1: Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ của vectơ latex(vec(AB)) trong mỗi trường hợp sau: a) A(0; 0; 0) và B(4; 2; −5); b) A(1; −3; 7) và B(1; −3; 7); c) A(5; 4; 9) và B(−5; 7; 2).
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Hãy mô tả hệ tọa độ Oxyz trong căn phòng ở Hình 2.44 sao cho gốc O trùng với góc trên của căn phòng, khung tranh nằm trong mặt phẳng (Oxy) và mặt trần nhà trùng với mặt phẳng (Oxz).
Ảnh
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A trùng với gốc O và các đỉnh D, B, A' có tọa độ lần lượt là (2; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 3) (H.2.45). Xác định tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.
Ảnh
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
DẶN DÒ:
Tổng hợp lại kiến thức vừa học. Hoàn thành bài tập trong SBT, SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương II. Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ".
Cảm ơn
Ảnh