CHƯƠNG I. BÀI 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG I. BÀI 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
- Khởi động:
Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài cạnh bằng 60 cm, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (H.1.14). Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của chiếc hộp là lớn nhất.
Ảnh
1. Định nghĩa
Định nghĩa
Ảnh
1. Định nghĩa
- HĐ1
Ảnh
Hình vẽ
Ảnh
HĐ1: Cho HS y = f(x) = LATEX(x^2 – 2x) với x ∈ [0; 3], có đồ thị như hình 1.15.
a) Giá trị lớn nhất M của hàm số trên đoạn [0; 3] là bao nhiêu? Tìm latex(x_0) sao cho latex(f(x_0)) = M. b) Giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn [0; 3] là bao nhiêu? Tìm latex(x_0) sao cho latex(f(x_0)) = m.
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. * Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu latex(f(x) <= M) với mọi latex(x in D) và tồn tại latex(x_0 in D) sao cho latex(f(x_0) = M) Kí hiệu latex(M = max_(x in D) f(x)) hoặc M = max_D f(x)). * Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu latex(f(x)>= m) với mọi latex(x in D) và tồn tại latex(x_0 in D) sao cho latex(f(x_0) = m). Kí hiệu latex(m = min_(x in D) f(x)) hoặc m = min_D f(x)).
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Ảnh
* Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) (mà không nói "trên tập D") thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập xác định của hàm số. * Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D, ta thường lập bảng biến thiên của hàm số trên tập D để kết luận.
- Ví dụ 1
Hình vẽ
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) = latex(sqrt(1 - x^2)).
- Giải:
Tập xác định của hàm số là: [-1; 1]. Cách 1: Sử dụng định nghĩa. Ta có: * f(x) = latex(sqrt(1 - x^2) > 0); dấu bằng xảy ra khi latex(1 - x^2 = 0), tức là khi x = -1 hoặc x = 1. Do đó latex(min_([-1; 1])) f(x) = f(-1) = f(1) = 0. * f(x) = latex(sqrt(1 - x^2) <= 1); dấu bằng xảy ra khi latex(1 - x^2), tức là khi x = 0. Do đó latex(max_([-1; 1])) f(x) = f(0) = 1.
- Luyện tập 1
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 1:
Tìm GTLN và GTNN (nếu có) của các hàm số sau: a) latex(y = sqrt(2x - x^2)); b) latex(y = -x + 1/(x - 1)) trên khoảng latex((1; +oo)).
2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Ảnh
2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
- HĐ2
Hình vẽ
Ảnh
HĐ2: Xét hàm số y = f(x) = latex(x^3 - 2x^2 + 1) trên đoạn [-1; 2], với đồ thị như Hình 1.16. a) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [-1; 2]. b) Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm x ∈ (−1; 2) mà f'(x) = 0.
c) Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn [−1; 2] và tại các điểm x đã tìm ở câu b. So sánh số nhỏ nhất trong các giá trị này với latex(min_([-1; 2]) f(x)) số lớn nhất trong các giá trị này với latex(max_([-1; 2]) f(x)).
- Kết luận
- Kết luận:
Ảnh
Giả sử y = f(x) là hàm số liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn [a; b] mà đạo hàm f'(x) bằng 0. Các bước tìm GTLN và GTNN của HS f(x) trên đoạn [a; b]: 1. Tìm các điểm latex(x_1, x_2,...x_n in (a; b)), t đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại. 2. Tính latex(f(x_1), f(x_2),...f(x_n), f(a)) và f(b). 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. latex(M = max_([a; b]) f(x); m = min_([a; b]) f(x)).
- Ví dụ 2
- Giải:
Ảnh
Hình vẽ
Ta có: y' = latex(4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)); y' = 0 latex(<=> x = sqrt2) (vì chỉ tìm latex(x in (0; 4))); y(0) = 3; y(4) = 195; latex(y(sqrt2) = -1). Do đó: latex(max_([0; 4]) = y(4) = 195; min_([0; 4])y = y(sqrt2) = -1).
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của HS latex(y = x^4 - 4x^2 + 3) trên đoạn [0; 4].
- Luyện tập 2
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 2:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = latex(2x^3 – 3x^2 + 5x + 2) trên đoạn [0; 2]; b) y = latex((x + 1)e^(−x)) trên đoạn [−1;1].
- Vận dụng
- Vận dụng:
Ảnh
Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số latex(N(t) = −t^3 + 12t^2), 0 ≤ t ≤ 12, trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và t là thời gian (tuần). a) Ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó. b) Đạo hàm N'(t) biểu thị tốc độ lây lan của vius. Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
Bài 1
Ảnh
Bài 1: Tìm GTLN và GTNN (nếu có) của các hàm số sau: a) latex(y = −x^2 + 4x + 3); b) latex(y = x^3 – 2x^2 + 1) trên [0; +∞); c) latex(y = (x^2 - 2x + 3)/(x - 1)) trên (1; +∞); c) latex(y = sqrt(4x - 2x^2)).
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) latex(y = 2x^3 – 6x + 3) trên đoạn [−1; 2]; b) latex(y = x^4 – 3x^2 + 2) trên đoạn [0; 3]; c) y = x – sin2x trên đoạn [0; π]; d) latex(y = (x^2 – x)e^x) trên đoạn [0; 1].
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng latex(108 cm^2) như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.
Ảnh
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
DẶN DÒ:
Tổng hợp lại kiến thức vừa học. Hoàn thành bài tập trong SBT, SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương I. Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số".
Cảm ơn
Ảnh