CHƯƠNG I. BÀI 3. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
CHƯƠNG I. BÀI 3. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
TOÁN 12
Khởi động
Khởi động
Ảnh
- Khởi động:
Giả sử khối lượng còn lại của một chất phóng xạ (gam) sau t ngày phân rã được cho bởi hàm số m(t) = latex(15e^(−0,012t)). Khối lượng m(t) thay đổi ra sao khi t → +∞? Điều này thể hiện trên H.1.18 thế nào?
1. Đường tiệm cận ngang
Đường tiệm cận ngang
Ảnh
1. Đường tiệm cận ngang
- HĐ1
Ảnh
Hình vẽ
Ảnh
HĐ1: Cho hàm số y = f(x) = latex((2x + 1)/x) có đồ thị (C). Với x > 0, xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng y = 2 (H.1.19). a) Tính khoảng cách MH. b) Nhận xét gì về khoảng cách MH khi latex(x -> +oo)?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Đường thẳng y = latex(y_0) gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: latex(lim_(x -> +oo) f(x) = y_0) hoặc latex(lim_(x -> -oo) f(x) = y_0).
- Ví dụ 1
Ví dụ 1: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = latex(f(x) = (3x - 2)/(x + 1)).
Ảnh
Hình vẽ
- Giải:
Ta có: latex(lim_(x -> + oo) f(x) = lim_(x -> +oo) (3x - 2)/(x + 1) = lim_(x -> +oo) (3 - 2/x)/(1 + 1/x) = 3). Tương tự, latex(lim_(x -> -oo) f(x) = 3). Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 3.
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) = latex((sqrt(x^2 + 1))/x).
- Giải:
Ảnh
Ta có: latex(lim_(x -> +oo) f(x) = lim_(x -> +oo) (sqrt(x^2 + 1))/x) latex(= lim_(x -> + oo) sqrt((x^2 + 1)/(x^2)) = lim_(x-> +oo) sqrt(1 + 1/(x^2)) = 1). latex(lim_(x -> -oo) f(x) = lim_(x -> -oo) (sqrt(x^2 + 1))/x) latex(= lim_(x -> -oo) (-sqrt((x^2 + 1)/(x^2))) = lim_(x-> -oo) (-sqrt(1 + 1/(x^2))) = -1). Vậy đồ thị hàm số f(x) có hai tiệm cận ngang là hai đường thẳng y = 1 và y = -1.
- Luyện tập 1
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 1:
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số latex(y = f(x) = (2x - 1)/(x - 1)).
- Vận dụng 1
Ảnh
- Vận dụng 1:
Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
2. Đường tiệm cận đứng
Đường tiệm cận đứng
Ảnh
2. Đường tiệm cận đứng
- HĐ2
Hình vẽ
Ảnh
HĐ2: Cho hàm số latex(y = f(x) = x/(x - 1)) có đồ thị (C). Với x > 1, xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng X = 1 (H.1.22). a) Tính khoảng cách MH. b) Khi M thay đổi trên (C) sao cho khoảng cách MH dần đến 0, có nhận xét gì về tung độ của điểm M?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Ảnh
Đường thẳng latex(x =x_0) gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: * latex(lim_(x->x_0^+) f(x) = + oo); * latex(lim_(x->x_0^-) f(x) = - oo); * latex(lim_(x->x_0^+) f(x) = - oo); * latex(lim_(x->x_0^-) f(x) = + oo);
+ Hình ảnh minh hoạ (- Hình ảnh minh hoạ)
Ảnh
- Ví dụ 3
Ví dụ 3: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) = latex((3- x)/(x +2)).
Ảnh
Hình vẽ
- Giải:
Ta có: latex(lim_(x -> -2^+) f(x) = lim_(x -> -2^+) (3 - x)/(x + 2) = +oo). Tương tự, latex(lim_(x -> -2^-) f(x) = - oo). Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = -2.
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) = latex((x^2 + 2)/x).
Ảnh
Hình vẽ
- Giải:
Ta có: latex(lim_(x -> 0^+) f(x) = lim_(x -> 0^+) (x^2 + 2)/x = +oo). Tương tự, latex(lim_(x -> 0^-) f(x) = - oo). Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 0.
- Luyện tập 2
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 2:
Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số latex(y = f(x) = (2x + 1)/(x - 4)).
- Vận dụng 2
Ảnh
- Vận dụng 2:
Để loại bỏ p% một loài tảo độc khỏi hồ nước, người ta ước tính chi phí bỏ ra là latex(C(p) = (45p)/(100 - p)). (triệu đồng), với 0 ≤ p < 100. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(p) và nêu ý nghĩa của đường tiệm cận này.
3. Đường tiệm cận xiên
Đường tiệm cận xiên
Ảnh
3. Đường tiệm cận xiên
- HĐ3
Hình vẽ
Ảnh
HĐ3: Cho HS latex(y = f(x) = x - 1 + 2/(x + 1)) có đồ thị (C) và đường thẳng y = x −1 như hình 1.24. a) Với x > −1, xét điểm M(x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng y = x – 1. Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi x → +∞? b) CMR: latex(lim_(x -> +oo) [f(x) - (x - 1)] = 0). Tính chất này thể hiện trên H1.24 như thế nào?
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Đường thẳng latex(y = ax + b (a!=0)) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: latex(lim_(x->+oo) [f(x) - (ax + b)] = 0) hoặc latex(lim_(x -> -oo) [f(x) - (ax + b)] = 0).
- Ví dụ 5
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) = latex(x + 1/(x + 2)). Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số f(x).
Ảnh
Hình vẽ
- Giải:
Ta có: latex(lim_(x -> +oo) [f(x) - x] = lim_(x -> +oo) 1/(x + 2) = 0). Tương tự, latex(lim_(x -> -oo) [f(x) - x] = 0). Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x.
- Chú ý
Ảnh
- Chú ý:
Ta biết rằng nếu đường thẳng y = ax + b latex((a !=0)) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) thì: latex(lim_(x->+oo) [f(x) - (ax + b)] = 0) hoặc latex(lim_(x -> -oo) [f(x) - (ax + b)] = 0). Do đó latex(lim_(x -> +oo) [f(x) - (ax + b)] . 1/x = 0) hoặc latex(lim_(x ->-oo)[f(x) - (ax + b)] . 1/x = 0) Từ đây suy ra a = latex(lim_(x -> +oo) (f(x))/x) hoặc latex(a = lim_(x -> -oo) (f(x))/x). Khi đó, ta có b = latex(lim_(x -> +oo) [f(x) - ax]) hoặc latex(b = lim_(x -> -oo) [f(x) -ax]). Ngược lại, với a và b xác định như trên, đường thẳng y = ax + b latex((a!=0)) là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x). Đặc biệt, nếu a = 0 thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
- Ví dụ 6
Ví dụ 6: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) = latex((x^2 - x + 2)/(x + 1)).
Ảnh
Hình vẽ
- Giải:
Ta có: a = latex(lim_(x -> +oo) (f(x))/x = lim_(x -> -oo) (x^2 - x + 2)/(x^2 + x) = 1); b = latex(lim_(x -> +oo) [f(x) - x] = lim_(x -> +oo) (-2x + 2)/(x+ 1) = -2); Tương tự, latex(lim_(x -> -oo) (f(x))/x = 1, lim_(x -> -oo) [f(x) - x] = -2). Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x - 2.
- Luyện tập 3
Ảnh
Hình vẽ
- Luyện tập 3:
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị HS y = latex(f(x) = (x^2 - 4x + 2)/(1- x)).
4. Bài tập
Bài tập
Ảnh
4. Bài tập
Bài 1
Bài 1: H1.26 là đồ thị của HS latex(y = f(x) = (2x^2)/(x^2 - 1)). Sử dụng đồ thị này, hãy: a) Viết kết quả của các giới hạn sau: latex(lim_(x -> -oo) f(x); lim_(x -> +oo) f(x); lim_(x -> 1^-) f(x); lim_(x -> -1^+) f(x)). b) Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
Ảnh
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Đường thẳng x = 1 có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số latex(y = (x^2 + 2x - 3)/(x - 1)) không?
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng latex(144 m^2). Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là x (m). a) Viết biểu thức tính chu vi P(x) (mét) của mảnh vườn. b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số P(x).
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
DẶN DÒ:
Tổng hợp lại kiến thức vừa học. Hoàn thành bài tập trong SBT, SGK. Chuẩn bị bài sau: "Chương I. Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số".
Cảm ơn
Ảnh