CHƯƠNG VI. BÀI 2. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN. CÔNG THỨC BAYES
Trang bìa
Trang bìa
Ảnh
TOÁN 12
CHƯƠNG VI. BÀI 2. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN. CÔNG THỨC BAYES
Khởi động
Khởi động
Ảnh
- Khởi động:
Ảnh
Dây chuyền lắp ráp ô tô điện gồm các linh kiện là sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra. Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra chiếm 55% tổng số linh kiện, số linh kiện nhà máy II sản xuất ra chiếm 45% tổng số linh kiện; tỉ lệ linh kiện đạt tiêu chuẩn của nhà máy I là 90%, của nhà máy II là 87%. Lấy ngẫu nhiên ra một linh kiện từ dây chuyền lắp ráp đó để kiểm tra. Xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn là bao nhiêu?
1. Công thức xác suất toàn phần
Công thức xác suất toàn phần
Ảnh
1. Công thức xác suất toàn phần
- HĐ1
Ảnh
Ảnh
HĐ1: Một hộp có 24 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 24; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biết cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4”. a) Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố A, B, A ∩ B, A∩latex(bar B) (Hình 1).
'
+ tiếp
Ảnh
HĐ1: Một hộp có 24 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 24; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biết cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4”. b) So sánh: n(A) và latex(n(A nn B) + n(A nn barB))). Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: latex(P(A) = P(A nn B) + P(A nn bar B)). c) So sánh: latex(P(A nn B)) và P(B) . P(A|B); latex(P(A nn bar B)) và P(B) . P(A|B)). Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: latex(P(A) = P(B) . P(A | B) + P(B) . P(A | B))
'
- Công thức xác suất toàn phần
Ảnh
- Công thức xác suất toàn phần
Hình vẽ
Cho hai biến cố A, B với 0 < P(B) < I, ta có: P(A) = latex(P(A nn B)+ P(A nn barB) = P(B) . P(A | B) + P(barB) . P(A | barB)).
- Ví dụ 1
Ảnh
Ví dụ 1: Theo một số liệu thống kê, năm 2004 ở Canada có 65% nam giới là thừa cân và 53,4% nữ giới là thư cân. Nam giới và nữ giới ở Canada đều chiếm 50% dân số cả nước. Hỏi rằng, trong năm 2004, xác suất để một người Canada được chọn ngẫu nhiên là người thừa cân bằng bao nhiêu?
+ Giải (- Ví dụ 1)
- Giải:
Ảnh
Xét hai biến cố: A: "Người được chọn ra là người thừa cân"; B: "Người được chọn ra là nam giới" latex(barB): "Người được chọn ra là nữa giới". Từ giả thiết ta có: P(B) = latex(P(barB) = 50% = 0,5; P(A|B) = 65% = ,65; P(A| barB) = 53,4%= 0,534). Theo công thức tính xác suất toàn phần, ta có: P(A) = latex(P(B) .P(A|B) + P(barB) .P(A |barB) = 0,5 . 0,65 + 0,5 . 0,534 = 0,592). Vậy xác suất để một người Canada được chọn ngẫu nhiên là người thừa cân bằng 0,592. Nói cách khác, tỉ lệ người Canada thừa cân là 59,2% .
- Ví dụ 2
Ví dụ 2: Mô hộp có 60 viên bi màu xanh và 40 viên bi màu đỏ; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi thống kê, người ta thấy: 50% số viên bi màu xanh có dán nhãn và 75% số viên bi màu đỏ có dán nhãn; những viên bi còn lại không dán nhãn. a) Chọn số thích hợp cho chỗ trống trong bảng 3 (đơn vị: Viên bi).
Ảnh
b) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Sử dụng công thức xác suất toàn phần, tính xác suất để viên bi lấy ra có dán nhãn.
+ Giải (- Ví dụ 2)
- Giải:
Ảnh
a) Số viên bi màu đỏ có dán nhãn là: 75%.40 = 30 (viên bi), không dán nhãn là: 40 - 30 = 10 (viên bi). Số viên bi màu xanh có dán nhãn là: 50% . 60 = 30 (viên bi), không dán nhãn là: 60 - 30 = 30 (viên bi). => Bảng 3 được hoàn thi như sau:
Ảnh
+ ý b (- Ví dụ 2)
- Giải:
Ảnh
b) Xét hai biến cố: A: "Viên bi đươc chọn ra có nhãn dán"; B: " Viên bi được ch ra có màu đỏ". Khi đó, ta có: latex(P(B) = 40/100 = 2/5; P(barB) = 1 -P(B) = 1 - 2/5 = 3/5). latex(P(A|B) = 30/40 = 3/4; P(A|barB) = 30/60 = 1/2). Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần, ta có: P(A) = P(B) . P(A|B) + P(barB) . P(A|barB) = 2/5 . 3/4 + 3/5 . 1/2 = 3/5). Vậy xác suất để viên bi được lấy ra cấy dán nhãn bằng latex(3/5).
- Luyện tập 1
- Luyện tập 1:
Ảnh
Hãy giải bài toán trong phần mở đầu bằng cách lập bảng thống kê như trong Ví dụ 2, biết rằng cả hai nhà máy sản xuất được 10 000 linh kiện.
'
- Ví dụ 3
Ảnh
Ví dụ 3: Trong trò chơi hái hoa có thưởng của lớp 12A, cô giáo treo 10 bông hoa trên cành cây, trong đó có 5 bong hoa chứa phiếu có thưởng. Bạn Bình hái bông hoa đầu tiên, sau đó bạn An hái bông hoa thứ hai. a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên. b) Tính xác suất bạn An hái được bông hoa chứa phiếu có thưởng.
+ Giải (- Ví dụ 3)
- Giải:
Ảnh
Hình vẽ
Xét hai biến cố: A: " Bông hoa bạn An hái được chứa phiếu có thưởng"; B: " Bông hoa bạn Bình hái được chứa phiếu có thường".
Khi đó, ta có: latex(P(B) = 5/10 = 1/2, P(barB) = 1 - 1/2 = 1/2, P(A | B) = 4/9, P(A | barB) = 5/9).
+ ý a (- Ví dụ 3)
Ảnh
a) Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là:
+ ý b (- Ví dụ 3)
- Giải:
Ảnh
Hình vẽ
b) Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: latex(P(A) = P/(B) . P(A |B) + P(barB) . P(A | barB) = 1/2 . 4/9 + 1/2 . 5/9 = 1/2). Vậy xác suất bạn An hái được bông hoa chứa phiếu có thưởng bằng latex(1/2).
- Luyện tập 2
- Luyện tập 2:
Ảnh
Hãy giải bài toán trong phần mở đầu bằng phương pháp sử dụng sơ đồ hình cây như trong Ví dụ 3.
'
2. Công thức Bayes
Công thức Bayes
Ảnh
2. Công thức Bayes
- HĐ2
Ảnh
- Hoạt động 2:
Hình vẽ
Xét hai biến cố A, B trong Hoạt động 1. a) Tính P(A), P(B), P(A | B) và P(B | A). b) So sánh: P(B |A) và latex((P(B) . P(A | B))/(P(A))).
- Kết luận
Ảnh
- Kết luận:
Hình vẽ
Với hai biến cố A, B mà P(A) > 0, P(B) > 0, ta có: P(B | A) = latex((P(B) . P(A | B))/(P(A))).
- Nhận xét
Ảnh
Hình vẽ
Ảnh
- Nhận xét:
Cho hai biến cố A, B với P(A) > 0, 0 < P(B) < 1. Do latex(P(A) = P(B) . P(A | B) + P(barB) . P(A | barB)) nên công thức Bayes còn có dạng: latex(P(B | A) = (P(B) . P(A | B))/(P(B) . P(A | B) + P(barB) . P(A | barB))).
- Ví dụ 4
Ví dụ 4: Cho hai biến cố A, B sao cho P(A) = 0,6; P(B) = 0,4; P(A|B) = 0,3. Tính P(B | A).
- Giải:
Ảnh
Hình vẽ
Áp dụng công thức Bayes, ta có: LATEX(P(B | A) = (P(B) . P(A|B))/(P(A)) = (0,4 . 0,3)/(0,6) = 0,2).
- Luyện tập 3
Ảnh
- Luyện tập 3:
Hình vẽ
Cho hai biến cố A, B sao cho P(A) = 0,4; P(B) = 0,8; P(B | A) = 0,3. Tính P(A | B).
- Luyện tập 4
- Luyện tập 4:
Ảnh
Được biết có 5% đàn ông bị mù màu, và 0,25% phụ nữ bị mù màu (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics – Understanding why and how, Springer, 2005). Giả sử số đàn ông bằng số phụ nữ. Chọn một người bị mù màu một cách ngẫu nhiên. Hỏi xác suất để người đó là đàn ông là bao nhiêu?
3. Bài tập
Bài tập
Ảnh
3. Bài tập
Bài 1
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Cho hai biến cố A, B với P(B) = 0,6; P(A | B) = 0,7 và latex(P(A | barB)) = 0,4. Khi đó, P(A) bằng:
A. 0,7.
B. 0,4.
C. 0,58.
D. 0,52.
Bài 2
Ảnh
Bài 2: Có hai chiếc hộp, hộp I có 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen, hộp II có 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II. a) Tính xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng. b) Giả sử viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng. Tính xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I..
Bài 3
Ảnh
Bài 3: Một loại linh kiện do hai nhà máy số I, số II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là: 4%; 3%. Trong một lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó. a) Tính xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt. b) Giả sử linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm. Xác suất linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao hơn?.
Tổng kết
Tổng kết
Ảnh
Tổng kết:
Ôn lại kiến thức vừa học. Hoàn thành hết các bài tập trong SGK và SBT.
Cảm ơn
Ảnh
Ảnh